MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdir 22396
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdir.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmdsdir.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdir ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdir
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 nlmdsdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
32nlmngp2 22394 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 22313 . . . . . 6 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝐹 ∈ Grp)
7 simpr1 1065 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑋𝐾)
8 simpr2 1066 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑌𝐾)
9 nlmdsdi.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2621 . . . . . 6 (-g𝐹) = (-g𝐹)
119, 10grpsubcl 17416 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
126, 7, 8, 11syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾)
13 simpr3 1067 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑍𝑉)
14 nlmdsdi.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 nlmdsdir.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
16 nlmdsdi.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2621 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
1814, 15, 16, 2, 9, 17nmvs 22390 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋(-g𝐹)𝑌) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
191, 12, 13, 18syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
20 eqid 2621 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
21 nlmlmod 22392 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
2314, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13lmodsubdir 18842 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍)))
2423fveq2d 6152 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑁‘((𝑋(-g𝐹)𝑌) · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
2519, 24eqtr3d 2657 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
26 nlmdsdir.e . . . . 5 𝐸 = (dist‘𝐹)
2717, 9, 10, 26ngpds 22318 . . . 4 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
284, 7, 8, 27syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋𝐸𝑌) = ((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)))
2928oveq1d 6619 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = (((norm‘𝐹)‘(𝑋(-g𝐹)𝑌)) · (𝑁𝑍)))
30 nlmngp 22391 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3130adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
3214, 2, 16, 9lmodvscl 18801 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑍𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3322, 7, 13, 32syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3414, 2, 16, 9lmodvscl 18801 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐾𝑍𝑉) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3522, 8, 13, 34syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉)
36 nlmdsdi.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑊)
3715, 14, 20, 36ngpds 22318 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3831, 33, 35, 37syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)) = (𝑁‘((𝑋 · 𝑍)(-g𝑊)(𝑌 · 𝑍))))
3925, 29, 383eqtr4d 2665 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑋𝐸𝑌) · (𝑁𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)𝐷(𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604   · cmul 9885  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  distcds 15871  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  LModclmod 18784  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292  NrmModcnlm 22295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nrg 22300  df-nlm 22301
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  22399
  Copyright terms: Public domain W3C validator