HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopgtmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopgtmnf 28588
Description: The norm of a Hilbert space operator is not minus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopgtmnf (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop𝑇))

Proof of Theorem nmopgtmnf
StepHypRef Expression
1 nmoprepnf 28587 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop𝑇) ≠ +∞))
2 df-ne 2791 . . 3 ((normop𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞)
31, 2syl6bb 276 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞))
4 xor3 372 . . 3 (¬ ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop𝑇) = +∞) ↔ ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞))
5 nbior 904 . . 3 (¬ ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop𝑇) = +∞) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop𝑇) = +∞))
64, 5sylbir 225 . 2 (((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop𝑇) = +∞))
7 mnfltxr 11908 . 2 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop𝑇) = +∞) → -∞ < (normop𝑇))
83, 6, 73syl 18 1 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4615  wf 5845  cfv 5849  cr 9882  +∞cpnf 10018  -∞cmnf 10019   < clt 10021  chil 27637  normopcnop 27663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-hilex 27717  ax-hfvadd 27718  ax-hvcom 27719  ax-hvass 27720  ax-hv0cl 27721  ax-hvaddid 27722  ax-hfvmul 27723  ax-hvmulid 27724  ax-hvmulass 27725  ax-hvdistr1 27726  ax-hvdistr2 27727  ax-hvmul0 27728  ax-hfi 27797  ax-his1 27800  ax-his2 27801  ax-his3 27802  ax-his4 27803
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-nmcv 27316  df-hnorm 27686  df-hba 27687  df-hvsub 27689  df-nmop 28559
This theorem is referenced by:  nmopre  28590  nmophmi  28751  bdophsi  28816  bdopcoi  28818
  Copyright terms: Public domain W3C validator