Theorem nnm1nn0 11939

Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1m1nn 11659	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3		1m1e0 11710	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
4	2, 3	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
5	4	orim1i 906	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
7	6	orcomd 867	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8		elnn0 11900	. 2 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
9	7, 8	sylibr 236	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-nn 11639  df-n0 11899

This theorem is referenced by:  elnn0nn  11940  nn0n0n1ge2  11963  nnaddm1cl  12040  fseq1m1p1  12983  elfznelfzo  13143  nn0ennn  13348  expm1t  13458  expgt1  13468  digit1  13599  bcn1  13674  bcm1k  13676  bcn2m1  13685  cshwidxn  14171  isercoll2  15025  iseralt  15041  binomlem  15184  incexc  15192  incexc2  15193  arisum  15215  arisum2  15216  pwdif  15223  mertenslem2  15241  risefallfac  15378  fallfacfwd  15390  0fallfac  15391  bpolydiflem  15408  ruclem12  15594  iddvdsexp  15633  dvdsfac  15676  oexpneg  15694  pwp1fsum  15742  bitsfzolem  15783  bitsf1  15795  phibnd  16108  phiprmpw  16113  prmdiv  16122  oddprm  16147  iserodd  16172  fldivp1  16233  prmpwdvds  16240  4sqlem12  16292  4sqlem19  16299  vdwapid1  16311  vdwlem1  16317  vdwlem3  16319  vdwlem5  16321  vdwlem6  16322  vdwlem9  16325  0ram  16356  ram0  16358  ramub1lem1  16362  ramub1lem2  16363  ramcl  16365  prmonn2  16375  1259lem5  16468  2503lem3  16472  4001lem4  16477  gsumwsubmcl  18001  gsumsgrpccat  18004  gsumccatOLD  18005  gsumwmhm  18010  sylow1lem1  18723  efgsrel  18860  efgredlem  18873  srgbinomlem4  19293  chfacfisf  21462  chfacfisfcpmat  21463  cpmadugsumlemF  21484  lebnumii  23570  ovolunlem1  24098  dvexp  24550  dgreq0  24855  dvply1  24873  vieta1lem2  24900  aaliou3lem8  24934  dvtaylp  24958  taylthlem1  24961  pserdvlem2  25016  pserdv2  25018  abelthlem6  25024  logtayl  25243  logtayl2  25245  cxpeq  25338  gamfac  25644  wilthlem1  25645  wilthlem2  25646  wilthlem3  25647  wilth  25648  wilthimp  25649  ftalem1  25650  basellem5  25662  1sgm2ppw  25776  chtublem  25787  perfect1  25804  perfect  25807  bcmono  25853  lgslem1  25873  lgsquadlem1  25956  lgsquad2lem2  25961  m1lgs  25964  selberg2lem  26126  logdivbnd  26132  pntrsumo1  26141  cusgrsize2inds  27235  cusgrrusgr  27363  pthdlem2  27549  crctcshwlkn0lem4  27591  wlkiswwlks2lem1  27647  wlkiswwlksupgr2  27655  clwwlkccatlem  27767  clwlkclwwlklem2a2  27771  clwwlknwwlksn  27816  clwwlkel  27825  clwwlkwwlksb  27833  wwlksubclwwlk  27837  freshmansdream  30859  fibp1  31659  plymulx0  31817  plymulx  31818  signstfvn  31839  signsvtn0  31840  subfacp1lem6  32432  erdszelem10  32447  erdsze2lem1  32450  erdsze2lem2  32451  cvmliftlem2  32533  bcprod  32970  poimirlem5  34912  poimirlem6  34913  poimirlem7  34914  poimirlem10  34917  poimirlem11  34918  poimirlem13  34920  poimirlem14  34921  poimirlem20  34927  poimirlem21  34928  poimirlem22  34929  poimirlem23  34930  poimirlem25  34932  poimirlem26  34933  poimirlem31  34938  lcmfunnnd  39133  fltnltalem  39323  irrapxlem1  39468  rmspecsqrtnq  39552  jm2.24nn  39605  jm2.17a  39606  acongeq  39629  jm2.18  39634  jm2.22  39641  jm2.23  39642  jm2.20nn  39643  jm2.27c  39653  bccm1k  40723  binomcxplemwb  40729  binomcxplemnotnn0  40737  dvsinexp  42244  dvxpaek  42274  dvnxpaek  42276  itgsinexplem1  42288  itgsinexp  42289  wallispilem5  42403  stirlinglem5  42412  fourierdlem48  42488  fourierdlem49  42489  fourierdlem52  42492  fourierdlem54  42494  fourierdlem103  42543  fourierdlem104  42544  etransclem1  42569  etransclem4  42572  etransclem8  42576  etransclem10  42578  etransclem14  42582  etransclem15  42583  etransclem17  42585  etransclem18  42586  etransclem19  42587  etransclem20  42588  etransclem21  42589  etransclem22  42590  etransclem23  42591  etransclem24  42592  etransclem27  42595  etransclem28  42596  etransclem32  42600  etransclem35  42603  etransclem37  42605  etransclem38  42606  etransclem41  42609  etransclem44  42612  etransclem45  42613  etransclem46  42614  etransclem47  42615  etransclem48  42616  lswn0  43653  fmtnoodd  43744  sqrtpwpw2p  43749  fmtnosqrt  43750  fmtnodvds  43755  fmtnorec3  43759  fmtnorec4  43760  2pwp1prm  43800  lighneallem3  43821  lighneallem4a  43822  lighneallem4  43824  oexpnegALTV  43891  perfectALTV  43937  fpprmod  43941  fppr2odd  43945  fpprwppr  43953  fpprwpprb  43954  bgoldbtbndlem4  44022  bcpascm1  44448  altgsumbcALT  44450  pw2m1lepw2m1  44624  nnpw2even  44638  logbpw2m1  44676  nnpw2blenfzo  44690  nnpw2pmod  44692  nnpw2p  44695  nnolog2flm1  44699  dignn0fr  44710  dig2nn1st  44714  digexp  44716  dignn0flhalflem1  44724