MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm1nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnm1nn0 11372
Description: A positive integer minus 1 is a nonnegative integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1nn0 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnm1nn0
StepHypRef Expression
1 nn1m1nn 11078 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
2 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
3 1m1e0 11127 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
42, 3syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
54orim1i 538 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
61, 5syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) = 0 ∨ (𝑁 − 1) ∈ ℕ))
76orcomd 402 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
8 elnn0 11332 . 2 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 1) = 0))
97, 8sylibr 224 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  elnn0nn  11373  nn0n0n1ge2  11396  nnaddm1cl  11472  fseq1m1p1  12453  elfznelfzo  12613  nn0ennn  12818  expm1t  12928  expgt1  12938  digit1  13038  bcn1  13140  bcm1k  13142  bcn2m1  13151  swrdccatwrd  13514  cshwidxn  13601  isercoll2  14443  iseralt  14459  binomlem  14605  incexc  14613  incexc2  14614  arisum  14636  arisum2  14637  mertenslem2  14661  risefallfac  14799  fallfacfwd  14811  0fallfac  14812  bpolydiflem  14829  ruclem12  15014  iddvdsexp  15052  dvdsfac  15095  oexpneg  15116  pwp1fsum  15161  bitsfzolem  15203  bitsf1  15215  phibnd  15523  phiprmpw  15528  prmdiv  15537  oddprm  15562  iserodd  15587  fldivp1  15648  prmpwdvds  15655  4sqlem12  15707  4sqlem19  15714  vdwapid1  15726  vdwlem1  15732  vdwlem3  15734  vdwlem5  15736  vdwlem6  15737  vdwlem9  15740  0ram  15771  ram0  15773  ramub1lem1  15777  ramub1lem2  15778  ramcl  15780  prmonn2  15790  1259lem5  15889  2503lem3  15893  4001lem4  15898  gsumwsubmcl  17422  gsumccat  17425  gsumwmhm  17429  sylow1lem1  18059  efgsrel  18193  efgredlem  18206  srgbinomlem4  18589  chfacfisf  20707  chfacfisfcpmat  20708  cpmadugsumlemF  20729  lebnumii  22812  ovolunlem1  23311  dvexp  23761  dgreq0  24066  dvply1  24084  vieta1lem2  24111  aaliou3lem8  24145  dvtaylp  24169  taylthlem1  24172  pserdvlem2  24227  pserdv2  24229  abelthlem6  24235  logtayl  24451  logtayl2  24453  cxpeq  24543  leibpilem1  24712  gamfac  24838  wilthlem1  24839  wilthlem2  24840  wilthlem3  24841  wilth  24842  wilthimp  24843  ftalem1  24844  basellem5  24856  1sgm2ppw  24970  chtublem  24981  perfect1  24998  perfect  25001  bcmono  25047  lgslem1  25067  lgsquadlem1  25150  lgsquad2lem2  25155  m1lgs  25158  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  pntrsumo1  25299  cusgrsize2inds  26405  cusgrrusgr  26533  pthdlem2  26720  crctcshwlkn0lem4  26761  wlkiswwlks2lem1  26823  wlkiswwlksupgr2  26831  clwlkclwwlklem2a2  26959  clwwlknwwlksn  27000  clwwlknwwlksnOLD  27001  clwwlkel  27009  clwwlkwwlksb  27018  wwlksubclwwlk  27023  clwwlkccatlem  27331  fibp1  30591  plymulx0  30752  plymulx  30753  signstfvn  30774  signsvtn0  30775  subfacp1lem6  31293  erdszelem10  31308  erdsze2lem1  31311  erdsze2lem2  31312  cvmliftlem2  31394  bcprod  31750  poimirlem5  33544  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem10  33549  poimirlem11  33550  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem20  33559  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem25  33564  poimirlem26  33565  poimirlem31  33570  irrapxlem1  37703  rmspecsqrtnq  37787  rmspecsqrtnqOLD  37788  jm2.24nn  37843  jm2.17a  37844  acongeq  37867  jm2.18  37872  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.27c  37891  bccm1k  38858  binomcxplemwb  38864  binomcxplemnotnn0  38872  dvsinexp  40443  dvxpaek  40473  dvnxpaek  40475  itgsinexplem1  40487  itgsinexp  40488  wallispilem5  40604  stirlinglem5  40613  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem52  40693  fourierdlem54  40695  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  etransclem1  40770  etransclem4  40773  etransclem8  40777  etransclem10  40779  etransclem14  40783  etransclem15  40784  etransclem17  40786  etransclem18  40787  etransclem19  40788  etransclem20  40789  etransclem21  40790  etransclem22  40791  etransclem23  40792  etransclem24  40793  etransclem27  40796  etransclem28  40797  etransclem32  40801  etransclem35  40804  etransclem37  40806  etransclem38  40807  etransclem41  40810  etransclem44  40813  etransclem45  40814  etransclem46  40815  etransclem47  40816  etransclem48  40817  lswn0  41705  fmtnoodd  41770  sqrtpwpw2p  41775  fmtnosqrt  41776  fmtnodvds  41781  fmtnorec3  41785  fmtnorec4  41786  pwdif  41826  2pwp1prm  41828  lighneallem3  41849  lighneallem4a  41850  lighneallem4  41852  oexpnegALTV  41913  perfectALTV  41957  bgoldbtbndlem4  42021  bcpascm1  42454  altgsumbcALT  42456  pw2m1lepw2m1  42635  nnpw2even  42648  logbpw2m1  42686  nnpw2blenfzo  42700  nnpw2pmod  42702  nnpw2p  42705  nnolog2flm1  42709  dignn0fr  42720  dig2nn1st  42724  digexp  42726  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator