Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk4 27098
 Description: The total number of closed walks in a finite simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk4.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk4.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤,𝑥   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlk4
StepHypRef Expression
1 fusgrusgr 26102 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
2 nnnn0 11243 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 numclwwlk4.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43clwwlksnun 26840 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
51, 2, 4syl2an 494 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
65fveq2d 6152 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (#‘ 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
73fusgrvtxfi 26099 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
87adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
9 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
109fusgrvtxfi 26099 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12 clwwlksnfi 26779 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
1413adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
15 rabfi 8129 . . . 4 ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
1614, 15syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
17 clwwlksndisj 26839 . . . 4 Disj 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
1817a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Disj 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
198, 16, 18hashiun 14481 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘ 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
20 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2120anim1i 591 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑉))
2221ancomd 467 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉𝑁 ∈ ℕ))
23 numclwwlk4.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
2423numclwwlkovf 27069 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
2522, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
2625eqcomd 2627 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} = (𝑥𝐹𝑁))
2726fveq2d 6152 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑉) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
2827sumeq2dv 14367 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑥𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
296, 19, 283eqtrd 2659 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  ∪ ciun 4485  Disj wdisj 4583  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606  Fincfn 7899  0cc0 9880  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  #chash 13057  Σcsu 14350  Vtxcvtx 25774   USGraph cusgr 25937   FinUSGraph cfusgr 26096   ClWWalksN cclwwlksn 26743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-edg 25840  df-umgr 25874  df-usgr 25939  df-fusgr 26097  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745 This theorem is referenced by:  numclwwlk6  27102
 Copyright terms: Public domain W3C validator