Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnequiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnequiv 33252
 Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the ℝn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
rrnequiv.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrnequiv ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑌)
2 ovex 6633 . . . . . . . 8 (ℂflds ℝ) ∈ V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
6 reex 9972 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
7 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
8 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
97, 8resssca 15947 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
115, 10pwsval 16062 . . . . . . . 8 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
122, 4, 11sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
1312fveq2d 6154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
141, 13syl5eq 2672 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
1514oveqd 6622 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))𝐺))
16 fconstmpt 5128 . . . . . 6 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
1716oveq2i 6616 . . . . 5 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
18 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
19 fvex 6160 . . . . . 6 (Scalar‘ℂfld) ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
212a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
2221ralrimiva 2965 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (ℂflds ℝ) ∈ V)
23 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
24 rrnequiv.1 . . . . . . 7 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
25 ax-resscn 9938 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
26 cnfldbas 19664 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
277, 26ressbas2 15847 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
2825, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
295, 28pwsbas 16063 . . . . . . . . 9 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
302, 4, 29sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
3112fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3230, 31eqtrd 2660 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3324, 32syl5eq 2672 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3423, 33eleqtrd 2706 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
35 simprr 795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
3635, 33eleqtrd 2706 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
37 cnfldds 19670 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
387, 37ressds 15989 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
396, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
4039reseq1i 5356 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
41 eqid 2626 . . . . 5 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4217, 18, 20, 4, 22, 34, 36, 28, 40, 41prdsdsval3 16061 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
4315, 42eqtrd 2660 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
44 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4524, 44rrndstprj1 33247 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
4645an32s 845 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
473, 46sylanl1 681 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
4847ralrimiva 2965 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
49 ovex 6633 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V
5049rgenw 2924 . . . . . . 7 𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V
51 eqid 2626 . . . . . . . 8 (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))
52 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
5351, 52ralrnmpt 6325 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
5450, 53ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5548, 54sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5624rrnmet 33246 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
574, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
58 metge0 22055 . . . . . . . 8 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5957, 23, 35, 58syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
60 elsni 4170 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
6160breq1d 4628 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6259, 61syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6362ralrimiv 2964 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
64 ralunb 3777 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6555, 63, 64sylanbrc 697 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
6617, 18, 20, 4, 22, 28, 34prdsbascl 16059 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6766r19.21bi 2932 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6817, 18, 20, 4, 22, 28, 36prdsbascl 16059 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
6968r19.21bi 2932 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
7044remet 22496 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
71 metcl 22042 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7270, 71mp3an1 1408 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7367, 69, 72syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7473, 51fmptd 6341 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))):𝐼⟶ℝ)
75 frn 6012 . . . . . . . 8 ((𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ ℝ)
77 ressxr 10028 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
7876, 77syl6ss 3600 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ ℝ*)
79 0xr 10031 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ∈ ℝ*)
8180snssd 4314 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → {0} ⊆ ℝ*)
8278, 81unssd 3772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
83 metcl 22042 . . . . . . 7 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
8457, 23, 35, 83syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
8577, 84sseldi 3586 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ*)
86 supxrleub 12096 . . . . 5 (((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
8782, 85, 86syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
8865, 87mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
8943, 88eqbrtrd 4640 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
90 rzal 4050 . . . . . . 7 (𝐼 = ∅ → ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
9123, 24syl6eleq 2714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
92 elmapi 7824 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
93 ffn 6004 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
9491, 92, 933syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9535, 24syl6eleq 2714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
96 elmapi 7824 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
97 ffn 6004 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 Fn 𝐼)
99 eqfnfv 6268 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
10094, 98, 99syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
10190, 100syl5ibr 236 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 = ∅ → 𝐹 = 𝐺))
102101imp 445 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐹 = 𝐺)
103102oveq1d 6620 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (𝐺(ℝn𝐼)𝐺))
104 met0 22053 . . . . . . 7 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐺𝑋) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) = 0)
10557, 35, 104syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) = 0)
106 hashcl 13084 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (#‘𝐼) ∈ ℕ0)
1074, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (#‘𝐼) ∈ ℕ0)
108107nn0red 11297 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (#‘𝐼) ∈ ℝ)
109107nn0ge0d 11299 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (#‘𝐼))
110108, 109resqrtcld 14085 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘(#‘𝐼)) ∈ ℝ)
1115, 1, 24repwsmet 33251 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1124, 111syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
113 metcl 22042 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
114112, 23, 35, 113syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
115108, 109sqrtge0d 14088 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘(#‘𝐼)))
116 metge0 22055 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
117112, 23, 35, 116syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
118110, 114, 115, 117mulge0d 10549 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
119105, 118eqbrtrd 4640 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
120119adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
121103, 120eqbrtrd 4640 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
12284adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
123110, 114remulcld 10015 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
124123adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
125 rpre 11783 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
126125ad2antll 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
127124, 126readdcld 10014 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟) ∈ ℝ)
1284adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ Fin)
129 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ≠ ∅)
130 eldifsn 4292 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
131128, 129, 130sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
13223adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐹𝑋)
13335adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝑋)
134114adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
135 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
136 hashnncl 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → ((#‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
137128, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((#‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
138129, 137mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (#‘𝐼) ∈ ℕ)
139138nnrpd 11814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (#‘𝐼) ∈ ℝ+)
140139rpsqrtcld 14079 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(#‘𝐼)) ∈ ℝ+)
141135, 140rpdivcld 11833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℝ+)
142141rpred 11816 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℝ)
143134, 142readdcld 10014 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) ∈ ℝ)
144 0red 9986 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ)
145117adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
146134, 141ltaddrpd 11849 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))))
147144, 134, 143, 145, 146lelttrd 10140 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))))
148143, 147elrpd 11813 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) ∈ ℝ+)
14973adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
150134adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
151143adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) ∈ ℝ)
15282ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
153 ssun1 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})
154 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
15551elrnmpt1 5338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐼 ∧ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))))
156154, 49, 155sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))))
157153, 156sseldi 3586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}))
158 supxrub 12094 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
159152, 157, 158syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
16043ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
161159, 160breqtrrd 4646 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
162146adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))))
163149, 150, 151, 161, 162lelttrd 10140 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))))
164163ralrimiva 2965 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))))
16524, 44rrndstprj2 33248 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))))) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) · (√‘(#‘𝐼))))
166131, 132, 133, 148, 164, 165syl32anc 1331 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) · (√‘(#‘𝐼))))
167134recnd 10013 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℂ)
168142recnd 10013 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℂ)
169110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(#‘𝐼)) ∈ ℝ)
170169recnd 10013 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(#‘𝐼)) ∈ ℂ)
171167, 168, 170adddird 10010 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) · (√‘(#‘𝐼))) = (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(#‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼)))))
172167, 170mulcomd 10006 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(#‘𝐼))) = ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
173126recnd 10013 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℂ)
174140rpne0d 11821 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(#‘𝐼)) ≠ 0)
175173, 170, 174divcan1d 10747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝑟 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼))) = 𝑟)
176172, 175oveq12d 6623 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(#‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼)))) = (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
177171, 176eqtrd 2660 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(#‘𝐼)))) · (√‘(#‘𝐼))) = (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
178166, 177breqtrd 4644 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
179122, 127, 178ltled 10130 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
180179anassrs 679 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
181180ralrimiva 2965 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
182 alrple 11979 . . . . . 6 (((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
18384, 123, 182syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
184183adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
185181, 184mpbird 247 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
186121, 185pm2.61dane 2883 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
18789, 186jca 554 1 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(#‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796  ∀wral 2912  Vcvv 3191   ∖ cdif 3557   ∪ cun 3558   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678   × cxp 5077  ran crn 5080   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083   Fn wfn 5845  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↑𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  supcsup 8291  ℂcc 9879  ℝcr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886  ℝ*cxr 10018   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211   / cdiv 10629  ℕcn 10965  ℕ0cn0 11237  ℝ+crp 11776  #chash 13054  √csqrt 13902  abscabs 13903  Basecbs 15776   ↾s cress 15777  Scalarcsca 15860  distcds 15866  Xscprds 16022   ↑s cpws 16023  Metcme 19646  ℂfldccnfld 19660  ℝncrrn 33242 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-prds 16024  df-pws 16026  df-xmet 19653  df-met 19654  df-cnfld 19661  df-rrn 33243 This theorem is referenced by:  rrntotbnd  33253
 Copyright terms: Public domain W3C validator