MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdspjmhm 17307
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdspjmhm.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdspjmhm.i (𝜑𝐼𝑉)
prdspjmhm.s (𝜑𝑆𝑋)
prdspjmhm.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdspjmhm.a (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdspjmhm (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem prdspjmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdspjmhm.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdspjmhm.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 prdspjmhm.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
4 prdspjmhm.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
51, 2, 3, 4prdsmndd 17263 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
6 prdspjmhm.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
74, 6ffvelrnd 6326 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐴) ∈ Mnd)
85, 7jca 554 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅𝐴) ∈ Mnd))
9 prdspjmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
103adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑋)
112adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑉)
12 ffn 6012 . . . . . . 7 (𝑅:𝐼⟶Mnd → 𝑅 Fn 𝐼)
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
15 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
166adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴𝐼)
171, 9, 10, 11, 14, 15, 16prdsbasprj 16072 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴) ∈ (Base‘(𝑅𝐴)))
18 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
1917, 18fmptd 6351 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)))
203adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆𝑋)
212adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑉)
2213adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 Fn 𝐼)
23 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
24 simprr 795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
25 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
266adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴𝐼)
271, 9, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26prdsplusgfval 16074 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
289, 25mndcl 17241 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
29283expb 1263 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
305, 29sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵)
31 fveq1 6157 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝑌)𝑧) → (𝑥𝐴) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
32 fvex 6168 . . . . . . 7 ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴) ∈ V
3331, 18, 32fvmpt 6249 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝑌)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
3430, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑌)𝑧)‘𝐴))
35 fveq1 6157 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
36 fvex 6168 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴) ∈ V
3735, 18, 36fvmpt 6249 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦) = (𝑦𝐴))
38 fveq1 6157 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴) = (𝑧𝐴))
39 fvex 6168 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴) ∈ V
4038, 18, 39fvmpt 6249 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧) = (𝑧𝐴))
4137, 40oveqan12d 6634 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4241adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) = ((𝑦𝐴)(+g‘(𝑅𝐴))(𝑧𝐴)))
4327, 34, 423eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
4443ralrimivva 2967 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)))
45 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
469, 45mndidcl 17248 . . . . 5 (𝑌 ∈ Mnd → (0g𝑌) ∈ 𝐵)
47 fveq1 6157 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑌) → (𝑥𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
48 fvex 6168 . . . . . 6 ((0g𝑌)‘𝐴) ∈ V
4947, 18, 48fvmpt 6249 . . . . 5 ((0g𝑌) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
505, 46, 493syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = ((0g𝑌)‘𝐴))
511, 2, 3, 4prds0g 17264 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
5251fveq1d 6160 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = ((0g𝑌)‘𝐴))
53 fvco3 6242 . . . . 5 ((𝑅:𝐼⟶Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
544, 6, 53syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑅)‘𝐴) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5550, 52, 543eqtr2d 2661 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))
5619, 44, 553jca 1240 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴))))
57 eqid 2621 . . 3 (Base‘(𝑅𝐴)) = (Base‘(𝑅𝐴))
58 eqid 2621 . . 3 (+g‘(𝑅𝐴)) = (+g‘(𝑅𝐴))
59 eqid 2621 . . 3 (0g‘(𝑅𝐴)) = (0g‘(𝑅𝐴))
609, 57, 25, 58, 45, 59ismhm 17277 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑅𝐴) ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)):𝐵⟶(Base‘(𝑅𝐴)) ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑦(+g𝑌)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑦)(+g‘(𝑅𝐴))((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(0g𝑌)) = (0g‘(𝑅𝐴)))))
618, 56, 60sylanbrc 697 1 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom (𝑅𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  cmpt 4683  ccom 5088   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040  Xscprds 16046  Mndcmnd 17234   MndHom cmhm 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-prds 16048  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275
This theorem is referenced by:  pwspjmhm  17308  prdsgsum  18317
  Copyright terms: Public domain W3C validator