Theorem psrmulfval 19433

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulfval.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrmulfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑦,𝑘,𝐷,𝑥   ℎ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)

Proof of Theorem psrmulfval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulfval.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		psrmulfval.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		fveq1 6228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4		fveq1 6228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) = (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))
5	3, 4	oveqan12d 6709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))
6	5	mpteq2dv 4778	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))
7	6	oveq2d 6706	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))))
8	7	mpteq2dv 4778	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
9		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		psrmulr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		psrmulr.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
13		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
14	9, 10, 11, 12, 13	psrmulr 19432	. . 3 ⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
15		ovex 6718	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
16	13, 15	rabex2 4847	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	mptex 6527	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) ∈ V
18	8, 14, 17	ovmpt2a 6833	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
19	1, 2, 18	syl2anc 694	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ^◡ccnv 5142   “ cima 5146  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑓 cof 6937   ∘_𝑟 cofr 6938   ↑_𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  Basecbs 15904  ._rcmulr 15989   Σ_g cgsu 16148   mPwSer cmps 19399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-psr 19404

This theorem is referenced by:  psrmulval  19434  psrmulcllem  19435  psrdi  19454  psrdir  19455  psrass23l  19456  psrcom  19457  psrass23  19458  resspsrmul  19465  mplmul  19491  psropprmul  19656  coe1mul2  19687