MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psropprmul 19548
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psropprmul.s 𝑆 = (oppr𝑅)
psropprmul.z 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
psropprmul.t · = (.r𝑌)
psropprmul.u = (.r𝑍)
psropprmul.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
psropprmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑎 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 ringcmn 18521 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
54adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 ovex 6643 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
76rabex 4783 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
87rabex 4783 . . . . . 6 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V)
10 simpll1 1098 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 19319 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17 elrabi 3347 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18 ffvelrn 6323 . . . . . . . 8 ((𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
1916, 17, 18syl2an 494 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
20 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 19319 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23 ssrab2 3672 . . . . . . . . 9 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ⊆ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
24 reldmpsr 19301 . . . . . . . . . . . . 13 Rel dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 15862 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐵𝐼 ∈ V)
26253ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐼 ∈ V)
2726ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
28 simplr 791 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
29 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
30 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} = {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
3112, 30psrbagconcl 19313 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3227, 28, 29, 31syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3323, 32sseldi 3586 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3422, 33ffvelrnd 6326 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 18501 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
3710, 19, 34, 36syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
3937, 38fmptd 6351 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}⟶(Base‘𝑅))
40 mptexg 6449 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
418, 40mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
42 funmpt 5894 . . . . . . 7 Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4342a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
44 fvex 6168 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g𝑅) ∈ V)
4612psrbaglefi 19312 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
4726, 46sylan 488 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
48 suppssdm 7268 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4938dmmptss 5600 . . . . . . . 8 dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
5048, 49sstri 3597 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
5150a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
52 suppssfifsupp 8250 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V ∧ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin ∧ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5341, 43, 45, 47, 51, 52syl32anc 1331 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5412, 30psrbagconf1o 19314 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
5526, 54sylan 488 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
561, 2, 5, 9, 39, 53, 55gsumf1o 18257 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))))
5726ad2antrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
58 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
59 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
6012, 30psrbagconcl 19313 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
6157, 58, 59, 60syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
62 eqidd 2622 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))
63 eqidd 2622 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
64 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐺𝑒) = (𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))
65 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝑏𝑓𝑒) = (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))
6665fveq2d 6162 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) = (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))
6764, 66oveq12d 6633 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))))
6861, 62, 63, 67fmptco 6362 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))))
6912psrbagf 19305 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7026, 69sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7226adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
73 elrabi 3347 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
7412psrbagf 19305 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
7572, 73, 74syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
76 nn0cn 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℂ)
77 nn0cn 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℂ)
78 nncan 10270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
7976, 77, 78syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8079adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) ∧ (𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0)) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8157, 71, 75, 80caonncan 6900 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)) = 𝑐)
8281fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))) = (𝐹𝑐))
8382oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐)))
84 psropprmul.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (oppr𝑅)
85 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
861, 35, 84, 85opprmul 18566 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐))
8783, 86syl6eqr 2673 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))
8887mpteq2dva 4714 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
8968, 88eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
9089oveq2d 6631 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))) = (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
918mptex 6451 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V)
93 id 22 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
94 fvex 6168 . . . . . . . . 9 (oppr𝑅) ∈ V
9584, 94eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
9695a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ V)
9784, 1opprbas 18569 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
9897a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
99 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10084, 99oppradd 18570 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑆)
101100a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑆))
10292, 93, 96, 98, 101gsumpropd 17212 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
1031023ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
104103adantr 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
10556, 90, 1043eqtrd 2659 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
106105mpteq2dva 4714 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
107 psropprmul.t . . 3 · = (.r𝑌)
10811, 13, 35, 107, 12, 14, 20psrmulfval 19325 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐺 · 𝐹) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))))
109 psropprmul.z . . 3 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
110 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
111 psropprmul.u . . 3 = (.r𝑍)
11297a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
113112psrbaspropd 19545 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
11411fveq2i 6161 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
11513, 114eqtri 2643 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
116109fveq2i 6161 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
117113, 115, 1163eqtr4g 2680 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑍))
11820, 117eleqtrd 2700 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑍))
11914, 117eleqtrd 2700 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘𝑍))
120109, 110, 85, 111, 12, 118, 119psrmulfval 19325 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
121106, 108, 1203eqtr4rd 2666 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cmpt 4683  ccnv 5083  dom cdm 5084  cima 5087  ccom 5088  Fun wfun 5851  wf 5853  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑓 cof 6860  𝑟 cofr 6861   supp csupp 7255  𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915   finSupp cfsupp 8235  cc 9894  cle 10035  cmin 10226  cn 10980  0cn0 11252  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  CMndccmn 18133  Ringcrg 18487  opprcoppr 18562   mPwSer cmps 19291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-tset 15900  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-psr 19296
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  19549
  Copyright terms: Public domain W3C validator