MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psropprmul 19371
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psropprmul.s 𝑆 = (oppr𝑅)
psropprmul.z 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
psropprmul.t · = (.r𝑌)
psropprmul.u = (.r𝑍)
psropprmul.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
psropprmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑎 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2605 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 ringcmn 18346 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
54adantr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 ovex 6551 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
76rabex 4731 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
87rabex 4731 . . . . . 6 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V)
10 simpll1 1092 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 simp3 1055 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 19142 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1615adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17 elrabi 3323 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18 ffvelrn 6246 . . . . . . . 8 ((𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
1916, 17, 18syl2an 492 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
20 simp2 1054 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 19142 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23 ssrab2 3645 . . . . . . . . 9 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ⊆ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
24 reldmpsr 19124 . . . . . . . . . . . . 13 Rel dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 15692 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐵𝐼 ∈ V)
26253ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐼 ∈ V)
2726ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
28 simplr 787 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
29 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
30 eqid 2605 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} = {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
3112, 30psrbagconcl 19136 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3227, 28, 29, 31syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3323, 32sseldi 3561 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3422, 33ffvelrnd 6249 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2605 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 18326 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
3710, 19, 34, 36syl3anc 1317 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2605 . . . . . 6 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
3937, 38fmptd 6273 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}⟶(Base‘𝑅))
40 mptexg 6363 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
418, 40mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
42 funmpt 5822 . . . . . . 7 Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4342a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
44 fvex 6094 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g𝑅) ∈ V)
4612psrbaglefi 19135 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
4726, 46sylan 486 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
48 suppssdm 7168 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4938dmmptss 5530 . . . . . . . 8 dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
5048, 49sstri 3572 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
5150a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
52 suppssfifsupp 8146 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V ∧ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin ∧ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5341, 43, 45, 47, 51, 52syl32anc 1325 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5412, 30psrbagconf1o 19137 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
5526, 54sylan 486 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
561, 2, 5, 9, 39, 53, 55gsumf1o 18082 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))))
5726ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
58 simplr 787 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
59 simpr 475 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
6012, 30psrbagconcl 19136 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
6157, 58, 59, 60syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
62 eqidd 2606 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))
63 eqidd 2606 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
64 fveq2 6084 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐺𝑒) = (𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))
65 oveq2 6531 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝑏𝑓𝑒) = (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))
6665fveq2d 6088 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) = (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))
6764, 66oveq12d 6541 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))))
6861, 62, 63, 67fmptco 6284 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))))
6912psrbagf 19128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7026, 69sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7170adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7226adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
73 elrabi 3323 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
7412psrbagf 19128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
7572, 73, 74syl2an 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
76 nn0cn 11145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℂ)
77 nn0cn 11145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℂ)
78 nncan 10157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
7976, 77, 78syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8079adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) ∧ (𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0)) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8157, 71, 75, 80caonncan 6806 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)) = 𝑐)
8281fveq2d 6088 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))) = (𝐹𝑐))
8382oveq2d 6539 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐)))
84 psropprmul.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (oppr𝑅)
85 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
861, 35, 84, 85opprmul 18391 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐))
8783, 86syl6eqr 2657 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))
8887mpteq2dva 4662 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
8968, 88eqtrd 2639 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
9089oveq2d 6539 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))) = (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
918mptex 6364 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V)
93 id 22 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
94 fvex 6094 . . . . . . . . 9 (oppr𝑅) ∈ V
9584, 94eqeltri 2679 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
9695a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ V)
9784, 1opprbas 18394 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
9897a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
99 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10084, 99oppradd 18395 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑆)
101100a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑆))
10292, 93, 96, 98, 101gsumpropd 17037 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
1031023ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
104103adantr 479 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
10556, 90, 1043eqtrd 2643 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
106105mpteq2dva 4662 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
107 psropprmul.t . . 3 · = (.r𝑌)
10811, 13, 35, 107, 12, 14, 20psrmulfval 19148 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐺 · 𝐹) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))))
109 psropprmul.z . . 3 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
110 eqid 2605 . . 3 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
111 psropprmul.u . . 3 = (.r𝑍)
11297a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
113112psrbaspropd 19368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
11411fveq2i 6087 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
11513, 114eqtri 2627 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
116109fveq2i 6087 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
117113, 115, 1163eqtr4g 2664 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑍))
11820, 117eleqtrd 2685 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑍))
11914, 117eleqtrd 2685 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘𝑍))
120109, 110, 85, 111, 12, 118, 119psrmulfval 19148 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
121106, 108, 1203eqtr4rd 2650 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  {crab 2895  Vcvv 3168  wss 3535   class class class wbr 4573  cmpt 4633  ccnv 5023  dom cdm 5024  cima 5027  ccom 5028  Fun wfun 5780  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑓 cof 6766  𝑟 cofr 6767   supp csupp 7155  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814   finSupp cfsupp 8131  cc 9786  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  0gc0g 15865   Σg cgsu 15866  CMndccmn 17958  Ringcrg 18312  opprcoppr 18387   mPwSer cmps 19114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-ofr 6769  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-hash 12931  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-tset 15729  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-psr 19119
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  19372
  Copyright terms: Public domain W3C validator