MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrdi 19173
Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
psrdi.a + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrdi (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 19149 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍))
87fveq1d 6090 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))
98ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))
10 ssrab2 3649 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
11 psrring.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑉)
1211ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
13 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
14 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
15 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
1715, 16psrbagconcl 19140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
1812, 13, 14, 17syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
1910, 18sseldi 3565 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
20 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
211, 20, 15, 2, 5psrelbas 19146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2322ffnd 5945 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
241, 20, 15, 2, 6psrelbas 19146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 5945 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑍 Fn 𝐷)
27 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
2815, 27rabex2 4737 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
30 inidm 3783 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐷) = 𝐷
31 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))
32 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))
3323, 26, 29, 29, 30, 31, 32ofval 6781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
3419, 33mpdan 698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
359, 34eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
3635oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
37 psrring.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3837ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
39 psrass.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
401, 20, 15, 2, 39psrelbas 19146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4140ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4210, 14sseldi 3565 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
4341, 42ffvelrnd 6253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
4422, 19ffvelrnd 6253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
4525, 19ffvelrnd 6253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
46 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4720, 3, 46ringdi 18335 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4838, 43, 44, 45, 47syl13anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4936, 48eqtrd 2643 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5049mpteq2dva 4666 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
5115psrbaglefi 19139 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5211, 51sylan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5320, 46ringcl 18330 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5438, 43, 44, 53syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5520, 46ringcl 18330 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5638, 43, 45, 55syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57 eqidd 2610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
58 eqidd 2610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5952, 54, 56, 57, 58offval2 6789 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6050, 59eqtr4d 2646 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6160oveq2d 6543 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6237adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
63 ringcmn 18350 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
65 eqid 2609 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
66 eqid 2609 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
6720, 3, 64, 52, 54, 56, 65, 66gsummptfidmadd2 18095 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6861, 67eqtrd 2643 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6968mpteq2dva 4666 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
70 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
71 ringgrp 18321 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7237, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
731, 2, 4, 72, 5, 6psraddcl 19150 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝐵)
741, 2, 46, 70, 15, 39, 73psrmulfval 19152 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
751, 2, 70, 37, 39, 5psrmulcl 19155 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
761, 2, 70, 37, 39, 6psrmulcl 19155 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
771, 2, 3, 4, 75, 76psradd 19149 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)))
7828a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
79 ovex 6555 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V
8079a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
81 ovex 6555 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V
8281a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
831, 2, 46, 70, 15, 39, 5psrmulfval 19152 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
841, 2, 46, 70, 15, 39, 6psrmulfval 19152 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
8578, 80, 82, 83, 84offval2 6789 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8677, 85eqtrd 2643 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8769, 74, 863eqtr4d 2653 1 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  cima 5031  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  𝑟 cofr 6771  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  0cn0 11139  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715   Σg cgsu 15870  Grpcgrp 17191  CMndccmn 17962  Ringcrg 18316   mPwSer cmps 19118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-psr 19123
This theorem is referenced by:  psrring  19178
  Copyright terms: Public domain W3C validator