Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem17 15530
 Description: Lemma for pythagtrip 15533. Show the relationship between 𝑀, 𝑁, and 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pythagtriplem15.1 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
pythagtriplem15.2 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)))

Proof of Theorem pythagtriplem17
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem15.1 . . . . 5 𝑀 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
21pythagtriplem12 15525 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑀↑2) = ((𝐶 + 𝐴) / 2))
3 pythagtriplem15.2 . . . . 5 𝑁 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
43pythagtriplem14 15527 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝑁↑2) = ((𝐶𝐴) / 2))
52, 4oveq12d 6665 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶𝐴) / 2)))
6 nncn 11025 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
763ad2ant3 1083 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
873ad2ant1 1081 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9 nncn 11025 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
1093ad2ant1 1081 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11103ad2ant1 1081 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
128, 11addcld 10056 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℂ)
138, 11subcld 10389 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
14 2cnne0 11239 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
15 divdir 10707 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶𝐴)) / 2) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶𝐴) / 2)))
1614, 15mp3an3 1412 . . . 4 (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶𝐴)) / 2) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶𝐴) / 2)))
1712, 13, 16syl2anc 693 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶𝐴)) / 2) = (((𝐶 + 𝐴) / 2) + ((𝐶𝐴) / 2)))
185, 17eqtr4d 2658 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)) = (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶𝐴)) / 2))
198, 11, 8ppncand 10429 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐴) + (𝐶𝐴)) = (𝐶 + 𝐶))
2082timesd 11272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
2119, 20eqtr4d 2658 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((𝐶 + 𝐴) + (𝐶𝐴)) = (2 · 𝐶))
2221oveq1d 6662 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((𝐶 + 𝐴) + (𝐶𝐴)) / 2) = ((2 · 𝐶) / 2))
23 2cn 11088 . . . 4 2 ∈ ℂ
24 2ne0 11110 . . . 4 2 ≠ 0
25 divcan3 10708 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
2623, 24, 25mp3an23 1415 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
278, 26syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
2818, 22, 273eqtrrd 2660 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = ((𝑀↑2) + (𝑁↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  0cc0 9933  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938   − cmin 10263   / cdiv 10681  ℕcn 11017  2c2 11067  ↑cexp 12855  √csqrt 13967   ∥ cdvds 14977   gcd cgcd 15210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970 This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  15531
 Copyright terms: Public domain W3C validator