Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ress1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ress1r 30098
 Description: 1r is unaffected by restriction. This is a bit more generic than subrg1 18992. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ress1r.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
ress1r.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress1r.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ress1r ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 1 = (1r𝑆))

Proof of Theorem ress1r
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ress1r.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 ress1r.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2ressbas2 16133 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑆))
433ad2ant3 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5 simp3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
6 fvex 6362 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
72, 6eqeltri 2835 . . . 4 𝐵 ∈ V
8 ssexg 4956 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
95, 7, 8sylancl 697 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
10 eqid 2760 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
111, 10ressmulr 16208 . . 3 (𝐴 ∈ V → (.r𝑅) = (.r𝑆))
129, 11syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
13 simp2 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 1𝐴)
14 simpl1 1228 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
155sselda 3744 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
16 ress1r.1 . . . 4 1 = (1r𝑅)
172, 10, 16ringlidm 18771 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
1814, 15, 17syl2anc 696 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
192, 10, 16ringridm 18772 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)
2014, 15, 19syl2anc 696 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)
214, 12, 13, 18, 20rngurd 30097 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1𝐴𝐴𝐵) → 1 = (1r𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059   ↾s cress 16060  .rcmulr 16144  1rcur 18701  Ringcrg 18747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749 This theorem is referenced by:  xrge0slmod  30153
 Copyright terms: Public domain W3C validator