MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimmul 14325
Description: Limit of the product of two converging functions. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimadd.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
rlimadd.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Assertion
Ref Expression
rlimmul (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimmul
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimadd.5 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 14288 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimadd.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
5 rlimadd.6 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 14288 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rlimcl 14184 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
82, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9 rlimcl 14184 . . 3 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐸 ∈ ℂ)
105, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
11 ax-mulf 9976 . . 3 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
13 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
148adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
1510adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℂ)
16 mulcn2 14276 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐷 · 𝐸))) < 𝑦))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1323 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐷 · 𝐸))) < 𝑦))
183, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17rlimcn2 14271 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909   class class class wbr 4623  cmpt 4683   × cxp 5082  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894   · cmul 9901   < clt 10034  cmin 10226  +crp 11792  abscabs 13924  𝑟 crli 14166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-rlim 14170
This theorem is referenced by:  rlimdiv  14326  caucvgr  14356  logexprlim  24884  dchrisum0lem1  25139  signsplypnf  30449
  Copyright terms: Public domain W3C validator