MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdiv 14567
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimadd.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
rlimadd.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimdiv.7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
rlimdiv.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rlimdiv (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimadd.5 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 14529 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimadd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
5 rlimadd.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 14529 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rlimdiv.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
86, 7reccld 10978 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9 eldifsn 4454 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
106, 7, 9sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
1210, 11fmptd 6540 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
13 rlimcl 14425 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐸 ∈ ℂ)
145, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
15 rlimdiv.7 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ≠ 0)
16 eldifsn 4454 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
1714, 15, 16sylanbrc 701 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18 eldifsn 4454 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
19 reccl 10876 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2018, 19sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2120adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
22 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
2321, 22fmptd 6540 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
24 eqid 2752 . . . . . . . 8 (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2))
2524reccn2 14518 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
2617, 25sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
27 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
28 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 𝑣) ∈ V
2927, 22, 28fvmpt 6436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) = (1 / 𝑣))
30 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐸 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
31 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 𝐸) ∈ V
3230, 22, 31fvmpt 6436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3317, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3429, 33oveqan12rd 6825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸)) = ((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸)))
3534fveq2d 6348 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) = (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))))
3635breq1d 4806 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧 ↔ (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
3736imbi2d 329 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3837ralbidva 3115 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3938rexbidv 3182 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
4039biimpar 503 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4126, 40syldan 488 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4212, 17, 5, 23, 41rlimcn1 14510 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) ⇝𝑟 ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))
43 eqidd 2753 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
44 eqidd 2753 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
45 oveq2 6813 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐶))
4610, 43, 44, 45fmptco 6551 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)))
4742, 46, 333brtr3d 4827 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) ⇝𝑟 (1 / 𝐸))
483, 8, 2, 47rlimmul 14566 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) ⇝𝑟 (𝐷 · (1 / 𝐸)))
493, 6, 7divrecd 10988 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
5049mpteq2dva 4888 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
51 rlimcl 14425 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
522, 51syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5352, 14, 15divrecd 10988 . 2 (𝜑 → (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 · (1 / 𝐸)))
5448, 50, 533brtr4d 4828 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  cdif 3704  ifcif 4222  {csn 4313   class class class wbr 4796  cmpt 4873  ccom 5262  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  2c2 11254  +crp 12017  abscabs 14165  𝑟 crli 14407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-rlim 14411
This theorem is referenced by:  logexprlim  25141  chebbnd2  25357  chto1lb  25358  pnt2  25493  pnt  25494
  Copyright terms: Public domain W3C validator