MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgr 14356
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caucvgr (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgr.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21feqmptd 6216 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐴 ↦ (𝐹𝑛)))
31ffvelrnda 6325 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
43replimd 13887 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) = ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛)))))
54mpteq2dva 4714 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))))
62, 5eqtrd 2655 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))))
7 fvexd 6170 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ V)
8 ovexd 6645 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))) ∈ V)
9 caucvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 caucvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11 caucvgr.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
12 ref 13802 . . . . 5 ℜ:ℂ⟶ℝ
13 resub 13817 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗))))
1413fveq2d 6162 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗)))))
15 subcl 10240 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
16 absrele 13998 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1814, 17eqbrtrrd 4647 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
199, 1, 10, 11, 12, 18caucvgrlem2 14355 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)))
20 ax-icn 9955 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2120elexi 3203 . . . . . 6 i ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → i ∈ V)
23 fvexd 6170 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ V)
24 rlimconst 14225 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑛𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
259, 20, 24sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
26 imf 13803 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
27 imsub 13825 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗))))
2827fveq2d 6162 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) = (abs‘((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗)))))
29 absimle 13999 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3128, 30eqbrtrrd 4647 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
329, 1, 10, 11, 26, 31caucvgrlem2 14355 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))
3322, 23, 25, 32rlimmul 14325 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (i · (ℑ‘(𝐹𝑛)))) ⇝𝑟 (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹))))
347, 8, 19, 33rlimadd 14323 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))) ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
356, 34eqbrtrd 4645 . 2 (𝜑𝐹𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
36 rlimrel 14174 . . 3 Rel ⇝𝑟
3736releldmi 5332 . 2 (𝐹𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
3835, 37syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  ccom 5088  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  supcsup 8306  cc 9894  cr 9895  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  +crp 11792  cre 13787  cim 13788  abscabs 13924  𝑟 crli 14166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ico 12139  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-rlim 14170
This theorem is referenced by:  caucvg  14359  dvfsumrlim  23732
  Copyright terms: Public domain W3C validator