MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv1 13552
Description: Symbols to the left of a splice are unaffected. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv1.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
Assertion
Ref Expression
splfv1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem splfv1
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13548 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
76fveq1d 6231 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))‘𝑋))
8 swrdcl 13464 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13392 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13464 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 elfzelz 12380 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
15 uzid 11740 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
162, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
17 wrdfin 13355 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Fin)
18 hashcl 13185 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Fin → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
194, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑅) ∈ ℕ0)
20 uzaddcl 11782 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (ℤ𝐹) ∧ (#‘𝑅) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (#‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
2116, 19, 20syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 + (#‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
22 fzoss2 12535 . . . . . 6 ((𝐹 + (#‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹) → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
24 splfv1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
2523, 24sseldd 3637 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
26 ccatlen 13393 . . . . . . 7 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
279, 4, 26syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)))
28 elfzuz 12376 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
29 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
302, 28, 293syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
31 fzass4 12417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(#‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆))))
3231bicomi 214 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(#‘𝑆))))
3332simplbi 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
342, 3, 33syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆)))
35 swrdlen 13468 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
361, 30, 34, 35syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
372, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
3837zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
3938subid1d 10419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
4036, 39eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
4140oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (#‘𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
4227, 41eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = (𝐹 + (#‘𝑅)))
4342oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))) = (0..^(𝐹 + (#‘𝑅))))
4425, 43eleqtrrd 2733 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
45 ccatval1 13395 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(#‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
4611, 13, 44, 45syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
4740oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) = (0..^𝐹))
4824, 47eleqtrrd 2733 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))))
49 ccatval1 13395 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(#‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
509, 4, 48, 49syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
5139oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝐹 − 0)) = (0..^𝐹))
5224, 51eleqtrrd 2733 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0)))
53 swrdfv 13469 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(#‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
541, 30, 34, 52, 53syl31anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
55 elfzoelz 12509 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℤ)
5655zcnd 11521 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℂ)
5724, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
5857addid1d 10274 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
5958fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 0)) = (𝑆𝑋))
6050, 54, 593eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
617, 46, 603eqtrd 2689 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cop 4216  cotp 4218  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327   splice csplice 13328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-splice 13336
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17961
  Copyright terms: Public domain W3C validator