Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxfv 40714
Description: A symbol in a prefix of a word, indexed using the prefix' indices. Could replace swrd0fv 13380. (Contributed by AV, 3-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxfv ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem pfxfv
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12377 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2 pfxval 40698 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31, 2sylan2 491 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
433adant3 1079 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊 prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩))
54fveq1d 6152 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼))
6 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7 0elfz 12380 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
81, 7syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
983ad2ant2 1081 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
10 simp2 1060 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
111nn0cnd 11300 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
1211subid1d 10328 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
1312eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
1413oveq2d 6623 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
1514eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
1615biimpd 219 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
1716a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))))
18173imp 1254 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
19 swrdfv 13365 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
206, 9, 10, 18, 19syl31anc 1326 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
21 elfzoelz 12414 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
2221zcnd 11430 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
2322addid1d 10183 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
24233ad2ant3 1082 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
2524fveq2d 6154 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊𝐼))
265, 20, 253eqtrd 2659 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4156  cfv 5849  (class class class)co 6607  0cc0 9883   + caddc 9886  cmin 10213  0cn0 11239  ...cfz 12271  ..^cfzo 12409  #chash 13060  Word cword 13233   substr csubstr 13237   prefix cpfx 40696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-substr 13245  df-pfx 40697
This theorem is referenced by:  pfxfv0  40715  pfxtrcfv  40716  pfxfvlsw  40718  pfxeq  40719  ccatpfx  40724  pfx2  40727  pfxccatin12lem2  40739  repswpfx  40751
  Copyright terms: Public domain W3C validator