MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtneglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtneglem 13804
Description: The square root of a negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtneglem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))

Proof of Theorem sqrtneglem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9852 . . . 4 i ∈ ℂ
2 resqrtcl 13791 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
3 recn 9883 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
5 sqmul 12746 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
61, 4, 5sylancr 693 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
7 i2 12785 . . . . 5 (i↑2) = -1
87a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i↑2) = -1)
9 resqrtth 13793 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
108, 9oveq12d 6545 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
11 recn 9883 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
1312mulm1d 10334 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
146, 10, 133eqtrd 2647 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
15 renegcl 10196 . . . 4 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
16 0re 9897 . . . . 5 0 ∈ ℝ
17 reim0 13655 . . . . . 6 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = 0)
18 recn 9883 . . . . . . 7 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → -(√‘𝐴) ∈ ℂ)
19 imre 13645 . . . . . . 7 (-(√‘𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → (ℑ‘-(√‘𝐴)) = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
2117, 20eqtr3d 2645 . . . . 5 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
22 eqle 9991 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 = (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴)))) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
2316, 21, 22sylancr 693 . . . 4 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
242, 15, 233syl 18 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))))
25 mul2neg 10321 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
261, 4, 25sylancr 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-i · -(√‘𝐴)) = (i · (√‘𝐴)))
2726fveq2d 6092 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (ℜ‘(-i · -(√‘𝐴))) = (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
2824, 27breqtrd 4603 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))))
29 ixi 10508 . . . . . . 7 (i · i) = -1
3029oveq1i 6537 . . . . . 6 ((i · i) · (√‘𝐴)) = (-1 · (√‘𝐴))
31 mulass 9881 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
321, 1, 31mp3an12 1405 . . . . . 6 ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘𝐴)) = (i · (i · (√‘𝐴))))
33 mulm1 10323 . . . . . 6 ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (√‘𝐴)) = -(√‘𝐴))
3430, 32, 333eqtr3a 2667 . . . . 5 ((√‘𝐴) ∈ ℂ → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
354, 34syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) = -(√‘𝐴))
36 sqrtge0 13795 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
37 le0neg2 10389 . . . . . . . 8 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ -(√‘𝐴) ≤ 0))
38 lenlt 9968 . . . . . . . . 9 ((-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
3915, 16, 38sylancl 692 . . . . . . . 8 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (-(√‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
4037, 39bitrd 266 . . . . . . 7 ((√‘𝐴) ∈ ℝ → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
412, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ (√‘𝐴) ↔ ¬ 0 < -(√‘𝐴)))
4236, 41mpbid 220 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 < -(√‘𝐴))
432, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -(√‘𝐴) ∈ ℝ)
4443biantrurd 527 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 < -(√‘𝐴) ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴))))
45 elrp 11669 . . . . . 6 (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (-(√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(√‘𝐴)))
4644, 45syl6rbbr 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (-(√‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < -(√‘𝐴)))
4742, 46mtbird 313 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ -(√‘𝐴) ∈ ℝ+)
4835, 47eqneltrd 2706 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
49 df-nel 2782 . . 3 ((i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · (i · (√‘𝐴))) ∈ ℝ+)
5048, 49sylibr 222 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+)
5114, 28, 503jca 1234 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(i · (√‘𝐴))) ∧ (i · (i · (√‘𝐴))) ∉ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wnel 2780   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794  ici 9795   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932  -cneg 10119  2c2 10920  +crp 11667  cexp 12680  cre 13634  cim 13635  csqrt 13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772
This theorem is referenced by:  sqrtneg  13805  sqreu  13897
  Copyright terms: Public domain W3C validator