Theorem sseqfres 31651

Description: The first elements in the strong recursive sequence are the sequence initializer. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqfres	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Proof of Theorem sseqfres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
3		sseqval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
4	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
5		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
6		sseqval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
7	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
8		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))
9	2, 4, 5, 7, 8	sseqfv1 31647	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
10	9	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
11	1, 3, 5, 6	sseqfn 31648	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
12		wrdfn 13877	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
14		fzo0ssnn0 13119	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0)
16		fvreseq1 6809	. . 3 ⊢ ((((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ∧ 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀))) ∧ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
17	11, 13, 15, 16	syl21anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
18	10, 17	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ^◡ccnv 5554   ↾ cres 5557   “ cima 5558   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  ℕ₀cn0 11898  ℤ_≥cuz 12244  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862  seq_strcsseq 31641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-word 13863  df-lsw 13915  df-s1 13950  df-sseq 31642

This theorem is referenced by:  sseqp1  31653