Theorem sseqfv2 30584

Description: Value of the strong sequence builder function. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
sseqfv2.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
sseqfv2	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sseqfv2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
3		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡# “ (ℤ≥‘(#‘𝑀))))
4		sseqval.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
5	1, 2, 3, 4	sseqval 30578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
6	5	fveq1d 6231	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ((𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁))
7		wrdfn 13351	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)))
9		fvex 6239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)) ∈ V
10		df-lsw 13332	. . . . . 6 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)))
11	9, 10	fnmpti 6060	. . . . 5 ⊢ lastS Fn V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → lastS Fn V)
13		lencl 13356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
14	2, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 11518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
16		seqfn 12853	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℤ → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
18		ssv 3658	. . . . 5 ⊢ ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V)
20		fnco 6037	. . . 4 ⊢ (( lastS Fn V ∧ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(#‘𝑀)) ∧ ran seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ⊆ V) → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
21	12, 17, 19, 20	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
22		fzouzdisj 12543	. . . 4 ⊢ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) = ∅
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) = ∅)
24		sseqfv2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
25		fvun2 6309	. . 3 ⊢ ((𝑀 Fn (0..^(#‘𝑀)) ∧ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) Fn (ℤ≥‘(#‘𝑀)) ∧ (((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(#‘𝑀))) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(#‘𝑀)))) → ((𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = (( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))‘𝑁))
26	8, 21, 23, 24, 25	syl112anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))))‘𝑁) = (( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))‘𝑁))
27		fnfun 6026	. . . 4 ⊢ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) Fn (ℤ≥‘(#‘𝑀)) → Fun seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))
28	17, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))
29		fvexd 6241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)) ∈ V)
30		ovexd 6720	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) ∈ V)
31		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(#‘𝑀)) = (ℤ≥‘(#‘𝑀))
32		fvexd 6241	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((#‘𝑀) + 1))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ V)
33	29, 30, 31, 15, 32	seqf2 12860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(#‘𝑀))⟶V)
34		fdm 6089	. . . . 5 ⊢ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(#‘𝑀))⟶V → dom seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) = (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) = (ℤ≥‘(#‘𝑀)))
36	24, 35	eleqtrrd 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ dom seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))
37		fvco 6313	. . 3 ⊢ ((Fun seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})) ∧ 𝑁 ∈ dom seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))) → (( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))‘𝑁) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
38	28, 36, 37	syl2anc 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))‘𝑁) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
39	6, 26, 38	3eqtrd 2689	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   − cmin 10304  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725  ..^cfzo 12504  seqcseq 12841  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  seq_strcsseq 30573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-s1 13334  df-sseq 30574

This theorem is referenced by:  sseqp1  30585