MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgascl 19438
Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgascl.c 𝐶 = (algSc‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgascl (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4 𝐶 = (algSc‘𝑈)
2 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
3 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
41, 2, 3asclfn 19276 . . 3 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))
5 subrgascl.r . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 subrgascl.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
76subrgbas 18729 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
9 subrgascl.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
10 subrgascl.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑊)
11 ovex 6643 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝑇) ∈ V
126, 11eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ V)
149, 10, 13mplsca 19385 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
1514fveq2d 6162 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
168, 15eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
1716fneq2d 5950 . . 3 (𝜑 → (𝐶 Fn 𝑇𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))))
184, 17mpbiri 248 . 2 (𝜑𝐶 Fn 𝑇)
19 subrgascl.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
20 eqid 2621 . . . . 5 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2219, 20, 21asclfn 19276 . . . 4 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))
23 subrgascl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
24 subrgrcl 18725 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2623, 10, 25mplsca 19385 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2726fveq2d 6162 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2827fneq2d 5950 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Fn (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))))
2922, 28mpbiri 248 . . 3 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
30 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3130subrgss 18721 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
325, 31syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
33 fnssres 5972 . . 3 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
3429, 32, 33syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
35 fvres 6174 . . . 4 (𝑥𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
3635adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
37 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
386, 37subrg0 18727 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
395, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
4039ifeq2d 4083 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4140adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4241mpteq2dv 4715 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
43 eqid 2621 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4410adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐼𝑊)
4525adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
4632sselda 3588 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4723, 43, 37, 30, 19, 44, 45, 46mplascl 19436 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
48 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝐻) = (0g𝐻)
49 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
506subrgring 18723 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
515, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
5251adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐻 ∈ Ring)
538eleq2d 2684 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
5453biimpa 501 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
559, 43, 48, 49, 1, 44, 52, 54mplascl 19436 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
5642, 47, 553eqtr4d 2665 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝐶𝑥))
5736, 56eqtr2d 2656 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = ((𝐴𝑇)‘𝑥))
5818, 34, 57eqfnfvd 6280 1 (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  Vcvv 3190  wss 3560  ifcif 4064  {csn 4155  cmpt 4683   × cxp 5082  ccnv 5083  cres 5086  cima 5087   Fn wfn 5852  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  0cc0 9896  cn 10980  0cn0 11252  Basecbs 15800  s cress 15801  Scalarcsca 15884  0gc0g 16040  Ringcrg 18487  SubRingcsubrg 18716  algSccascl 19251   mPoly cmpl 19293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-tset 15900  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-subrg 18718  df-ascl 19254  df-psr 19296  df-mpl 19298
This theorem is referenced by:  subrgasclcl  19439  subrg1ascl  19569
  Copyright terms: Public domain W3C validator