Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg2 20680
 Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg2 ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem tg2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6177 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2 eltg2b 20674 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴)))
3 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
43anbi1d 740 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
54rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
65rspccv 3292 . . . 4 (∀𝑦𝐴𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
72, 6syl6bi 243 . . 3 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))))
81, 7mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
98imp 445 1 ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  topGenctg 16019 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-topgen 16025 This theorem is referenced by:  tgclb  20685  elcls3  20797  pnfnei  20934  mnfnei  20935  tgcnp  20967  tgcmp  21114  2ndcctbss  21168  2ndcdisj  21169  2ndcomap  21171  dis2ndc  21173  ptpjopn  21325  txlm  21361  flftg  21710  alexsublem  21758  alexsubALT  21765  tmdgsum2  21810  xrge0tsms  22545  xrge0tsmsd  29567  iccllysconn  30937  rellysconn  30938  fnessex  31980  ptrecube  33038  islptre  39252
 Copyright terms: Public domain W3C validator