MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgldimor 25297
Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p 𝑃 = (𝐸𝐹)
tgldimor.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgldimor (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐸𝐹)
2 fvex 6158 . . . . . 6 (𝐸𝐹) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . 5 𝑃 ∈ V
4 hashv01gt1 13073 . . . . 5 (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))
6 3orass 1039 . . . 4 (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))))
75, 6mpbi 220 . . 3 ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
8 1p1e2 11078 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
9 1z 11351 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
10 nn0z 11344 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
11 zltp1le 11371 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
129, 10, 11sylancr 694 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
1312biimpac 503 . . . . . . 7 ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
148, 13syl5eqbrr 4649 . . . . . 6 ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑃))
15 2re 11034 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1615rexri 10041 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
17 pnfge 11908 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 ≤ +∞
19 breq2 4617 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
2018, 19mpbiri 248 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝑃))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (#‘𝑃))
22 hashnn0pnf 13070 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
233, 22mp1i 13 . . . . . 6 (1 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
2414, 21, 23mpjaodan 826 . . . . 5 (1 < (#‘𝑃) → 2 ≤ (#‘𝑃))
2524orim2i 540 . . . 4 (((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
2625orim2i 540 . . 3 (((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
277, 26mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
28 tgldimor.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
29 ne0i 3897 . . . 4 (𝐴𝑃𝑃 ≠ ∅)
30 hasheq0 13094 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
313, 30ax-mp 5 . . . . . 6 ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
3231biimpi 206 . . . . 5 ((#‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
3332necon3ai 2815 . . . 4 (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (#‘𝑃) = 0)
3428, 29, 333syl 18 . . 3 (𝜑 → ¬ (#‘𝑃) = 0)
35 biorf 420 . . 3 (¬ (#‘𝑃) = 0 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
3727, 36mpbird 247 1 (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  tgifscgr  25303  tgcgrxfr  25313  tgbtwnconn3  25372  legtrid  25386  hpgerlem  25557
  Copyright terms: Public domain W3C validator