Theorem tgldimor 25297

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2		fvex 6158	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2694	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
4		hashv01gt1 13073	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))
6		3orass 1039	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))))
7	5, 6	mpbi 220	. . 3 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
8		1p1e2 11078	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
9		1z 11351	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		nn0z 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
11		zltp1le 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
12	9, 10, 11	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
13	12	biimpac 503	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
14	8, 13	syl5eqbrr 4649	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑃))
15		2re 11034	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	rexri 10041	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
17		pnfge 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
19		breq2 4617	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
20	18, 19	mpbiri 248	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝑃))
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (#‘𝑃))
22		hashnn0pnf 13070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
23	3, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (1 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
24	14, 21, 23	mpjaodan 826	. . . . 5 ⊢ (1 < (#‘𝑃) → 2 ≤ (#‘𝑃))
25	24	orim2i 540	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
26	25	orim2i 540	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
27	7, 26	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
28		tgldimor.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
29		ne0i 3897	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
30		hasheq0 13094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
32	31	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
33	32	necon3ai 2815	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (#‘𝑃) = 0)
34	28, 29, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (#‘𝑃) = 0)
35		biorf 420	. . 3 ⊢ (¬ (#‘𝑃) = 0 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
37	27, 36	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  ℝ^*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019  2c2 11014  ℕ₀cn0 11236  ℤcz 11321  #chash 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058

This theorem is referenced by:  tgifscgr  25303  tgcgrxfr  25313  tgbtwnconn3  25372  legtrid  25386  hpgerlem  25557