MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgldimor 25588
Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p 𝑃 = (𝐸𝐹)
tgldimor.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgldimor (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐸𝐹)
2 fvex 6354 . . . . . 6 (𝐸𝐹) ∈ V
31, 2eqeltri 2827 . . . . 5 𝑃 ∈ V
4 hashv01gt1 13319 . . . . 5 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
6 3orass 1075 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
75, 6mpbi 220 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
8 1p1e2 11318 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
9 1z 11591 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
10 nn0z 11584 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
11 zltp1le 11611 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
129, 10, 11sylancr 698 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
1312biimpac 504 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
148, 13syl5eqbrr 4832 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
15 2re 11274 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1615rexri 10281 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
17 pnfge 12149 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 ≤ +∞
19 breq2 4800 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
2018, 19mpbiri 248 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2120adantl 473 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
22 hashnn0pnf 13316 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
233, 22mp1i 13 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
2414, 21, 23mpjaodan 862 . . . . 5 (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2524orim2i 541 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2625orim2i 541 . . 3 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
277, 26mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
28 tgldimor.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
29 ne0i 4056 . . . 4 (𝐴𝑃𝑃 ≠ ∅)
30 hasheq0 13338 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
313, 30ax-mp 5 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
3231biimpi 206 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
3332necon3ai 2949 . . . 4 (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
3428, 29, 333syl 18 . . 3 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
35 biorf 419 . . 3 (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3727, 36mpbird 247 1 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1071   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  Vcvv 3332  c0 4050   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  chash 13303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304
This theorem is referenced by:  tgifscgr  25594  tgcgrxfr  25604  tgbtwnconn3  25663  legtrid  25677  hpgerlem  25848
  Copyright terms: Public domain W3C validator