MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlbas 19806
Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
thlbas 𝐶 = (Base‘𝐾)

Proof of Theorem thlbas
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3 eqid 2609 . . . . 5 (toInc‘𝐶) = (toInc‘𝐶)
4 eqid 2609 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
51, 2, 3, 4thlval 19805 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = ((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
65fveq2d 6091 . . 3 (𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7 fvex 6097 . . . . . 6 (CSubSp‘𝑊) ∈ V
82, 7eqeltri 2683 . . . . 5 𝐶 ∈ V
93ipobas 16926 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶)))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 𝐶 = (Base‘(toInc‘𝐶))
11 baseid 15695 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
12 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
13 1nn 10880 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
14 1nn0 11157 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
15 1lt10 11515 . . . . . . . 8 1 < 10
1613, 14, 14, 15declti 11380 . . . . . . 7 1 < 11
1712, 16ltneii 10001 . . . . . 6 1 ≠ 11
18 basendx 15699 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
19 ocndx 15831 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
2018, 19neeq12i 2847 . . . . . 6 ((Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 1 ≠ 11)
2117, 20mpbir 219 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
2211, 21setsnid 15691 . . . 4 (Base‘(toInc‘𝐶)) = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
2310, 22eqtri 2631 . . 3 𝐶 = (Base‘((toInc‘𝐶) sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
246, 23syl6reqr 2662 . 2 (𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
25 base0 15688 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
26 fvprc 6081 . . . 4 𝑊 ∈ V → (CSubSp‘𝑊) = ∅)
272, 26syl5eq 2655 . . 3 𝑊 ∈ V → 𝐶 = ∅)
28 fvprc 6081 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
291, 28syl5eq 2655 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
3029fveq2d 6091 . . 3 𝑊 ∈ V → (Base‘𝐾) = (Base‘∅))
3125, 27, 303eqtr4a 2669 . 2 𝑊 ∈ V → 𝐶 = (Base‘𝐾))
3224, 31pm2.61i 174 1 𝐶 = (Base‘𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  c0 3873  cop 4130  cfv 5789  (class class class)co 6526  1c1 9793  cdc 11327  ndxcnx 15640   sSet csts 15641  Basecbs 15643  occoc 15724  toInccipo 16922  ocvcocv 19770  CSubSpccss 19771  toHLcthl 19772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ocomp 15738  df-ipo 16923  df-thl 19775
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator