Theorem thlle 20824

Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
thlval.k	⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
thlle.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
thlle	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thlval.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2		thlbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3		thlle.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
4		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	thlval 20822	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
6	5	fveq2d 6660	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7		thlle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐼)
8		pleid 16650	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
9		10re 12104	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℝ
10		1nn0 11900	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11		0nn0 11899	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		1nn 11635	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
13		0lt1 11148	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
14	10, 11, 12, 13	declt 12113	. . . . . . 7 ⊢ ;10 < ;11
15	9, 14	ltneii 10739	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ ;11
16		plendx 16649	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) = ;10
17		ocndx 16656	. . . . . . 7 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
18	16, 17	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;11)
19	15, 18	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
20	8, 19	setsnid 16522	. . . 4 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
21	7, 20	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
22	6, 21	syl6reqr 2875	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
23	8	str0 16518	. . 3 ⊢ ∅ = (le‘∅)
24	2	fvexi 6670	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ V
25	3	ipolerval 17749	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = (le‘𝐼)
27	7, 26	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)}
28		opabn0 5426	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
29		vex 3489	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
30		vex 3489	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
31	29, 30	prss 4739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
32		elfvex 6689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ClSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
33	32, 2	eleq2s 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑊 ∈ V)
34	33	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
35	31, 34	sylanbr 584	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
36	35	exlimivv 1933	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑊 ∈ V)
37	28, 36	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
38	37	necon1bi 3044	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)} = ∅)
39	27, 38	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = ∅)
40		fvprc 6649	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
41	1, 40	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
42	41	fveq2d 6660	. . 3 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
43	23, 39, 42	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ≤ = (le‘𝐾))
44	22, 43	pm2.61i 184	1 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3486   ⊆ wss 3924  ∅c0 4279  {cpr 4555  ⟨cop 4559  {copab 5114  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  0cc0 10523  1c1 10524  ;cdc 12085  ndxcnx 16463   sSet csts 16464  lecple 16555  occoc 16556  toInccipo 17744  ocvcocv 20787  ClSubSpccss 20788  toHLcthl 20789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-fz 12883  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ocomp 16569  df-ipo 17745  df-thl 20792

This theorem is referenced by:  thlleval  20825