MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1fi 26648
Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1fi (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdginducedm1.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdginducedm1.k . . 3 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 vtxdginducedm1.i . . 3 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 vtxdginducedm1.p . . 3 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 vtxdginducedm1.s . . 3 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 vtxdginducedm1.j . . 3 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1 26647 . 2 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
95dmeqi 5478 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
10 finresfin 8349 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
11 dmfi 8407 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
139, 12syl5eqel 2841 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
146fveq2i 6353 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
151fvexi 6361 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
1615difexi 4959 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
173, 16eqeltri 2833 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
182fvexi 6361 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
1918resex 5599 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
205, 19eqeltri 2833 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
2117, 20opvtxfvi 26086 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
2214, 21, 33eqtrri 2785 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
231, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 26643 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
2423eqcomi 2767 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25 eqid 2758 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
2622, 24, 25vtxdgfisnn0 26579 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2713, 26sylan 489 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2827nn0red 11542 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29 dmfi 8407 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30 rabfi 8348 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
327, 31syl5eqel 2841 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33 rabfi 8348 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Fin → {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin)
34 hashcl 13337 . . . . . . . . 9 ({𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3635adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11542 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℝ)
3828, 37rexaddd 12256 . . . . 5 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
3938eqeq2d 2768 . . . 4 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4039biimpd 219 . . 3 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4140ralimdva 3098 . 2 (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
428, 41mpi 20 1 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wnel 3033  wral 3048  {crab 3052  Vcvv 3338  cdif 3710  {csn 4319  cop 4325  dom cdm 5264  cres 5266  cfv 6047  (class class class)co 6811  Fincfn 8119   + caddc 10129  0cn0 11482   +𝑒 cxad 12135  chash 13309  Vtxcvtx 26071  iEdgciedg 26072  VtxDegcvtxdg 26569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-uz 11878  df-xadd 12138  df-fz 12518  df-hash 13310  df-vtx 26073  df-iedg 26074  df-vtxdg 26570
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  26652
  Copyright terms: Public domain W3C validator