MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsblre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsblre 22522
Description: Any ball of the metric of the extended reals centered on an element of is entirely contained in . (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsblre ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrsblre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 10029 . . 3 (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ*)
2 xrsxmet.1 . . . . 5 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
32xrsxmet 22520 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4 eqid 2621 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) = (𝐷 “ ℝ)
54blssec 22150 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](𝐷 “ ℝ))
63, 5mp3an1 1408 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](𝐷 “ ℝ))
71, 6sylan 488 . 2 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](𝐷 “ ℝ))
8 vex 3189 . . . . 5 𝑥 ∈ V
9 simpl 473 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑃 ∈ ℝ)
10 elecg 7730 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝑥))
118, 9, 10sylancr 694 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝑥))
124xmeterval 22147 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑃(𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
133, 12ax-mp 5 . . . . 5 (𝑃(𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
14 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15 simplll 797 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 simplr3 1103 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18 simplr1 1101 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ*)
19 simplr2 1102 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑃𝑥)
212xrsdsreclb 19712 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑃𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
2317, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
2423simprd 479 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
2516, 24pm2.61dane 2877 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2625ex 450 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
2713, 26syl5bi 232 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(𝐷 “ ℝ)𝑥𝑥 ∈ ℝ))
2811, 27sylbid 230 . . 3 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
2928ssrdv 3589 . 2 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) ⊆ ℝ)
307, 29sstrd 3593 1 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  ccnv 5073  cima 5077  cfv 5847  (class class class)co 6604  [cec 7685  cr 9879  *cxr 10017  distcds 15871  *𝑠cxrs 16081  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-xrs 16083  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660
This theorem is referenced by:  xrsmopn  22523
  Copyright terms: Public domain W3C validator