Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsdsre 22607
 Description: The metric on the extended reals coincides with the usual metric on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsre (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem xrsdsre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrsxmet.1 . . . . 5 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsdsreval 19785 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
3 ovres 6797 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
4 eqid 2621 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54remetdval 22586 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
62, 3, 53eqtr4d 2665 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
76rgen2a 2976 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)
81xrsxmet 22606 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
9 xmetf 22128 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
10 ffn 6043 . . . . 5 (𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*))
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*)
12 rexpssxrxp 10081 . . . 4 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
13 fnssres 6002 . . . 4 ((𝐷 Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
1411, 12, 13mp2an 708 . . 3 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
15 cnmet 22569 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
16 metf 22129 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
17 ffn 6043 . . . . 5 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ)
19 ax-resscn 9990 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
20 xpss12 5223 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
2119, 19, 20mp2an 708 . . . 4 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
22 fnssres 6002 . . . 4 (((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
2318, 21, 22mp2an 708 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
24 eqfnov2 6764 . . 3 (((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)) → ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
2514, 23, 24mp2an 708 . 2 ((𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥(𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
267, 25mpbir 221 1 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911   ⊆ wss 3572   × cxp 5110   ↾ cres 5114   ∘ ccom 5116   Fn wfn 5881  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  ℝ*cxr 10070   − cmin 10263  abscabs 13968  distcds 15944  ℝ*𝑠cxrs 16154  ∞Metcxmt 19725  Metcme 19726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-icc 12179  df-fz 12324  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-xrs 16156  df-xmet 19733  df-met 19734 This theorem is referenced by:  xrsmopn  22609  metdscn2  22654
 Copyright terms: Public domain W3C validator