MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsmopn 22555
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on *; for example {+∞} is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
xrsmopn.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
xrsmopn (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽

Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4440 . . . 4 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 (ordTop‘ ≤ ))
2 letopuni 20951 . . . 4 * = (ordTop‘ ≤ )
31, 2syl6sseqr 3637 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥 ⊆ ℝ*)
4 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
54rexmet 22534 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ))
7 letop 20950 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
8 reex 9987 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
9 elrestr 16029 . . . . . . . . 9 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
107, 8, 9mp3an12 1411 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
1110ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
12 elin 3780 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ))
1312biimpri 218 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
1413adantll 749 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ))
15 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
1615xrtgioo 22549 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
17 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
184, 17tgioo 22539 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1916, 18eqtr3i 2645 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
2019mopni2 22238 . . . . . . 7 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∩ ℝ)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
216, 11, 14, 20syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ))
22 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2322xrsxmet 22552 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
25 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 ressxr 10043 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
27 sseqin2 3801 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
2826, 27mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
2925, 28syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ))
30 rpxr 11800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3222xrsdsre 22553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3332eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐷 ↾ (ℝ × ℝ))
3433blres 22176 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∩ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3524, 29, 31, 34syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ))
3622xrsblre 22554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3730, 36sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
3837adantll 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ)
39 df-ss 3574 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ ℝ ↔ ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4038, 39sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∩ ℝ) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4135, 40eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
4241sseq1d 3617 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ)))
43 inss1 3817 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥
44 sstr 3596 . . . . . . . . 9 (((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) ∧ (𝑥 ∩ ℝ) ⊆ 𝑥) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4543, 44mpan2 706 . . . . . . . 8 ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
4642, 45syl6bi 243 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4746reximdva 3013 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ (𝑥 ∩ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
4821, 47mpd 15 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
49 1rp 11796 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
5023a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
513sselda 3588 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
53 rpxr 11800 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
5449, 53mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ*)
55 elbl 22133 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
5650, 52, 54, 55syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)))
57 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → ¬ 𝑦 ∈ ℝ)
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
59513ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ*)
61 simpl3l 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
62 xmetcl 22076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
6358, 60, 61, 62syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
64 1red 10015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 1 ∈ ℝ)
65 xmetge0 22089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
6658, 60, 61, 65syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 0 ≤ (𝑦𝐷𝑧))
67 simpl3r 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) < 1)
6849, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ*
69 xrltle 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
7063, 68, 69sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) < 1 → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1))
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)
72 xrrege0 11964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑦𝐷𝑧) ∧ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 1)) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
7363, 64, 66, 71, 72syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ)
74 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
7522xrsdsreclb 19733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7660, 61, 74, 75syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑦𝐷𝑧) ∈ ℝ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)))
7773, 76mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
7877simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
7978ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ ℝ))
8079necon1bd 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 = 𝑧))
81 simp1r 1084 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑦𝑥)
82 elequ1 1994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝑥𝑧𝑥))
8381, 82syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (𝑦 = 𝑧𝑧𝑥))
8480, 83syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → (¬ 𝑦 ∈ ℝ → 𝑧𝑥))
8557, 84mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1)) → 𝑧𝑥)
86853expia 1264 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝐷𝑧) < 1) → 𝑧𝑥))
8756, 86sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)1) → 𝑧𝑥))
8887ssrdv 3594 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥)
89 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)1))
9089sseq1d 3617 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → ((𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥))
9190rspcev 3299 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑦(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9249, 88, 91sylancr 694 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9348, 92pm2.61dan 831 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑦𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
9493ralrimiva 2962 . . 3 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
95 xrsmopn.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9695elmopn2 22190 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)))
9723, 96ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐽 ↔ (𝑥 ⊆ ℝ* ∧ ∀𝑦𝑥𝑟 ∈ ℝ+ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥))
983, 94, 97sylanbrc 697 . 2 (𝑥 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → 𝑥𝐽)
9998ssriv 3592 1 (ordTop‘ ≤ ) ⊆ 𝐽
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cin 3559  wss 3560   cuni 4409   class class class wbr 4623   × cxp 5082  ran crn 5085  cres 5086  ccom 5088  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  +crp 11792  (,)cioo 12133  abscabs 13924  distcds 15890  t crest 16021  topGenctg 16038  ordTopcordt 16099  *𝑠cxrs 16100  ∞Metcxmt 19671  ballcbl 19673  MetOpencmopn 19676  Topctop 20638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-ec 7704  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-ordt 16101  df-xrs 16102  df-ps 17140  df-tsr 17141  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690
This theorem is referenced by:  xmetdcn  22581
  Copyright terms: Public domain W3C validator