MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringcyg 19962
Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringcyg ring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 19947 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2724 . . 3 (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3 zsubrg 19922 . . . . 5 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 subrgsubg 18909 . . . . 5 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6 df-zring 19942 . . . . 5 ring = (ℂflds ℤ)
76subggrp 17719 . . . 4 (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
85, 7mp1i 13 . . 3 (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9 1zzd 11521 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 ax-1cn 10107 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
11 cnfldmulg 19901 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
1210, 11mpan2 709 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13 1z 11520 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
14 eqid 2724 . . . . . . . 8 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1514, 6, 2subgmulg 17730 . . . . . . 7 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
165, 13, 15mp3an13 1528 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17 zcn 11495 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1817mulid1d 10170 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
1912, 16, 183eqtr3rd 2767 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20 oveq1 6772 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
2120eqeq2d 2734 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1) ↔ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)))
2221rspcev 3413 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
2319, 22mpdan 705 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
2423adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
251, 2, 8, 9, 24iscygd 18410 . 2 (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
2625trud 1606 1 ring ∈ CycGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wtru 1597  wcel 2103  wrex 3015  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  1c1 10050   · cmul 10054  cz 11490  Grpcgrp 17544  .gcmg 17662  SubGrpcsubg 17710  CycGrpccyg 18400  SubRingcsubrg 18899  fldccnfld 19869  ringzring 19941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-seq 12917  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-cmn 18316  df-cyg 18401  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-subrg 18901  df-cnfld 19870  df-zring 19942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator