Theorem ax6 208

Description: Axiom of Quantified Negation. Axiom C5-2 of [Monk2] p. 113. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ax6.1	⊢ R:∗

Assertion

Ref	Expression
ax6	⊢ ⊤⊧[(¬ (∀λx:α R)) ⇒ (∀λx:α (¬ (∀λx:α R)))]

Distinct variable group:   α,x

Proof of Theorem ax6

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wnot 138	. . 3 ⊢ ¬ :(∗ → ∗)
2		wal 134	. . . 4 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
3		ax6.1	. . . . 5 ⊢ R:∗
4	3	wl 66	. . . 4 ⊢ λx:α R:(α → ∗)
5	2, 4	wc 50	. . 3 ⊢ (∀λx:α R):∗
6	1, 5	wc 50	. 2 ⊢ (¬ (∀λx:α R)):∗
7		wv 64	. . 3 ⊢ y:α:α
8	1, 7	ax-17 105	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(λx:α ¬ y:α) = ¬ ]
9	2, 7	ax-17 105	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(λx:α ∀y:α) = ∀]
10	3, 7	ax-hbl1 103	. . . 4 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λx:α Ry:α) = λx:α R]
11	2, 4, 7, 9, 10	hbc 110	. . 3 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (∀λx:α R)y:α) = (∀λx:α R)]
12	1, 5, 7, 8, 11	hbc 110	. 2 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (¬ (∀λx:α R))y:α) = (¬ (∀λx:α R))]
13	6, 12	isfree 188	1 ⊢ ⊤⊧[(¬ (∀λx:α R)) ⇒ (∀λx:α (¬ (∀λx:α R)))]

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12  ¬ tne 120   ⇒ tim 121  ∀tal 122

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-fal 127  df-an 128  df-im 129  df-not 130

This theorem is referenced by: (None)