Theorem ax5 207

Description: Axiom of Quantified Implication. Axiom C4 of [Monk2] p. 105. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ax5.1	⊢ R:∗
ax5.2	⊢ S:∗

Assertion

Ref	Expression
ax5	⊢ ⊤⊧[(∀λx:α [R ⇒ S]) ⇒ [(∀λx:α R) ⇒ (∀λx:α S)]]

Distinct variable group:   α,x

Proof of Theorem ax5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax5.2	. . . . . 6 ⊢ S:∗
2		ax5.1	. . . . . . . 8 ⊢ R:∗
3	2	ax4 150	. . . . . . 7 ⊢ (∀λx:α R)⊧R
4		wal 134	. . . . . . . 8 ⊢ ∀:((α → ∗) → ∗)
5		wim 137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⇒ :(∗ → (∗ → ∗))
6	5, 2, 1	wov 72	. . . . . . . . 9 ⊢ [R ⇒ S]:∗
7	6	wl 66	. . . . . . . 8 ⊢ λx:α [R ⇒ S]:(α → ∗)
8	4, 7	wc 50	. . . . . . 7 ⊢ (∀λx:α [R ⇒ S]):∗
9	3, 8	adantl 56	. . . . . 6 ⊢ ((∀λx:α [R ⇒ S]), (∀λx:α R))⊧R
10	6	ax4 150	. . . . . . 7 ⊢ (∀λx:α [R ⇒ S])⊧[R ⇒ S]
11	3	ax-cb1 29	. . . . . . 7 ⊢ (∀λx:α R):∗
12	10, 11	adantr 55	. . . . . 6 ⊢ ((∀λx:α [R ⇒ S]), (∀λx:α R))⊧[R ⇒ S]
13	1, 9, 12	mpd 156	. . . . 5 ⊢ ((∀λx:α [R ⇒ S]), (∀λx:α R))⊧S
14		wv 64	. . . . . 6 ⊢ y:α:α
15	4, 14	ax-17 105	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(λx:α ∀y:α) = ∀]
16	6, 14	ax-hbl1 103	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λx:α [R ⇒ S]y:α) = λx:α [R ⇒ S]]
17	4, 7, 14, 15, 16	hbc 110	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (∀λx:α [R ⇒ S])y:α) = (∀λx:α [R ⇒ S])]
18	2	wl 66	. . . . . . 7 ⊢ λx:α R:(α → ∗)
19	2, 14	ax-hbl1 103	. . . . . . 7 ⊢ ⊤⊧[(λx:α λx:α Ry:α) = λx:α R]
20	4, 18, 14, 15, 19	hbc 110	. . . . . 6 ⊢ ⊤⊧[(λx:α (∀λx:α R)y:α) = (∀λx:α R)]
21	8, 14, 11, 17, 20	hbct 155	. . . . 5 ⊢ ⊤⊧[(λx:α ((∀λx:α [R ⇒ S]), (∀λx:α R))y:α) = ((∀λx:α [R ⇒ S]), (∀λx:α R))]
22	13, 21	alrimi 182	. . . 4 ⊢ ((∀λx:α [R ⇒ S]), (∀λx:α R))⊧(∀λx:α S)
23	22	ex 158	. . 3 ⊢ (∀λx:α [R ⇒ S])⊧[(∀λx:α R) ⇒ (∀λx:α S)]
24		wtru 43	. . 3 ⊢ ⊤:∗
25	23, 24	adantl 56	. 2 ⊢ (⊤, (∀λx:α [R ⇒ S]))⊧[(∀λx:α R) ⇒ (∀λx:α S)]
26	25	ex 158	1 ⊢ ⊤⊧[(∀λx:α [R ⇒ S]) ⇒ [(∀λx:α R) ⇒ (∀λx:α S)]]

Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6  ⊤kt 8  [kbr 9  kct 10  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12   ⇒ tim 121  ∀tal 122

This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-distrl 70  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177

This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126  df-an 128  df-im 129

This theorem is referenced by:  ax11  214