Theorem nfal 1576

Description: If x is not free in ph, it is not free in A. y ph. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2016.) Remove dependency on ax-4 1510. (Revised by Gino Giotto, 25-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nfal.1	|- F/ x ph

Assertion

Ref	Expression
nfal	|- F/ x A. y ph

Proof of Theorem nfal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nf 1461	. . . . . 6 |- ( F/ x ph <-> A. x ( ph -> A. x ph ) )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( F/ x ph -> A. x ( ph -> A. x ph ) )
3	2	alimi 1455	. . . 4 |- ( A. y F/ x ph -> A. y A. x ( ph -> A. x ph ) )
4		ax-7 1448	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. y ( ph -> A. x ph ) )
5		ax-5 1447	. . . . . 6 |- ( A. y ( ph -> A. x ph ) -> ( A. y ph -> A. y A. x ph ) )
6		ax-7 1448	. . . . . 6 |- ( A. y A. x ph -> A. x A. y ph )
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 |- ( A. y ( ph -> A. x ph ) -> ( A. y ph -> A. x A. y ph ) )
8	7	alimi 1455	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> A. x ph ) -> A. x ( A. y ph -> A. x A. y ph ) )
9	3, 4, 8	3syl 17	. . 3 |- ( A. y F/ x ph -> A. x ( A. y ph -> A. x A. y ph ) )
10		df-nf 1461	. . 3 |- ( F/ x A. y ph <-> A. x ( A. y ph -> A. x A. y ph ) )
11	9, 10	sylibr 134	. 2 |- ( A. y F/ x ph -> F/ x A. y ph )
12		nfal.1	. 2 |- F/ x ph
13	11, 12	mpg 1451	1 |- F/ x A. y ph

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1351   F/wnf 1460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461

This theorem is referenced by:  nfnf  1577  nfa2  1579  aaan  1587  cbv3  1742  cbv2  1749  nfald  1760  cbval2  1921  nfsb4t  2014  nfeuv  2044  mo23  2067  bm1.1  2162  nfnfc1  2322  nfnfc  2326  nfeq  2327  nfabdw  2338  sbcnestgf  3109  dfnfc2  3828  nfdisjv  3993  nfdisj1  3994  nffr  4350  exmidfodomrlemr  7201  exmidfodomrlemrALT  7202  exmidunben  12427  bdsepnft  14642  bdsepnfALT  14644  setindft  14720  strcollnft  14739  pw1nct  14755