Theorem brresg 4892

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brresg	|- ( B e. V -> ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) ) )

Proof of Theorem brresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 4891	. 2 |- ( B e. V -> ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )
2		df-br 3983	. 2 |- ( A ( C |` D ) B <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) )
3		df-br 3983	. . 3 |- ( A C B <-> <. A , B >. e. C )
4	3	anbi1i 454	. 2 |- ( ( A C B /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
5	1, 2, 4	3bitr4g 222	1 |- ( B e. V -> ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   |` cres 4606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-res 4616

This theorem is referenced by: (None)