Theorem brresg 4688

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brresg	|- ( B e. V -> ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) ) )

Proof of Theorem brresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 4687	. 2 |- ( B e. V -> ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )
2		df-br 3821	. 2 |- ( A ( C |` D ) B <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) )
3		df-br 3821	. . 3 |- ( A C B <-> <. A , B >. e. C )
4	3	anbi1i 446	. 2 |- ( ( A C B /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
5	1, 2, 4	3bitr4g 221	1 |- ( B e. V -> ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1436   <.cop 3434   class class class wbr 3820   |` cres 4412

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4416  df-res 4422

This theorem is referenced by: (None)