Theorem brresg 4917

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brresg	|- ( B e. V -> ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) ) )

Proof of Theorem brresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 4916	. 2 |- ( B e. V -> ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )
2		df-br 4006	. 2 |- ( A ( C |` D ) B <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) )
3		df-br 4006	. . 3 |- ( A C B <-> <. A , B >. e. C )
4	3	anbi1i 458	. 2 |- ( ( A C B /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) )
5	1, 2, 4	3bitr4g 223	1 |- ( B e. V -> ( A ( C |` D ) B <-> ( A C B /\ A e. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005   |` cres 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-res 4640

This theorem is referenced by: (None)