Theorem brresg 4966

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brresg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Proof of Theorem brresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 4965	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))
2		df-br 4044	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷))
3		df-br 4044	. . 3 ⊢ (𝐴𝐶𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶)
4	3	anbi1i 458	. 2 ⊢ ((𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
5	1, 2, 4	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175  ⟨cop 3635   class class class wbr 4043   ↾ cres 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-res 4686

This theorem is referenced by: (None)