Theorem brresg 4892

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brresg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Proof of Theorem brresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 4891	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))
2		df-br 3983	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷))
3		df-br 3983	. . 3 ⊢ (𝐴𝐶𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶)
4	3	anbi1i 454	. 2 ⊢ ((𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
5	1, 2, 4	3bitr4g 222	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982   ↾ cres 4606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-res 4616

This theorem is referenced by: (None)