Theorem brresg 5066

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brresg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Proof of Theorem brresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelresg 5065	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))
2		df-br 4126	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷))
3		df-br 4126	. . 3 ⊢ (𝐴𝐶𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶)
4	3	anbi1i 462	. 2 ⊢ ((𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
5	1, 2, 4	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125   ↾ cres 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-res 4781

This theorem is referenced by: (None)