Theorem opelresg 4898

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
opelresg	|- ( B e. V -> ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )

Proof of Theorem opelresg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3766	. . 3 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
2	1	eleq1d 2239	. 2 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. ( C |` D ) <-> <. A , B >. e. ( C |` D ) ) )
3	1	eleq1d 2239	. . 3 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. C <-> <. A , B >. e. C ) )
4	3	anbi1d 462	. 2 |- ( y = B -> ( ( <. A , y >. e. C /\ A e. D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )
5		vex 2733	. . 3 |- y e. _V
6	5	opelres 4896	. 2 |- ( <. A , y >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , y >. e. C /\ A e. D ) )
7	2, 4, 6	vtoclbg 2791	1 |- ( B e. V -> ( <. A , B >. e. ( C |` D ) <-> ( <. A , B >. e. C /\ A e. D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   |` cres 4613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-res 4623

This theorem is referenced by:  brresg  4899  opelresi  4902  issref  4993