Theorem csbunig 3906

Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbunig	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbunig

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 3190	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) } )
2		sbcexg 3087	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) ) )
3		sbcang 3076	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) ) )
4		sbcg 3102	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) )
5		sbcel2g 3149	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> y e. [_ A / x ]_ B ) )
6	4, 5	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
7	3, 6	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
8	7	exbidv 1873	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
9	2, 8	bitrd 188	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
10	9	abbidv 2350	. . 3 |- ( A e. V -> { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
11	1, 10	eqtrd 2264	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
12		df-uni 3899	. . 3 |- U. B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
13	12	csbeq2i 3155	. 2 |- [_ A / x ]_ U. B = [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
14		df-uni 3899	. 2 |- U. [_ A / x ]_ B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) }
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2289	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   [.wsbc 3032   [_csb 3128   U.cuni 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-uni 3899

This theorem is referenced by: (None)