Theorem csbunig 3667

Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbunig	|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )

Proof of Theorem csbunig

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 2990	. . 3 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) } )
2		sbcexg 2894	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) ) )
3		sbcang 2883	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) ) )
4		sbcg 2909	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) )
5		sbcel2g 2953	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. B <-> y e. [_ A / x ]_ B ) )
6	4, 5	anbi12d 458	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
7	3, 6	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
8	7	exbidv 1754	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
9	2, 8	bitrd 187	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
10	9	abbidv 2206	. . 3 |- ( A e. V -> { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
11	1, 10	eqtrd 2121	. 2 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
12		df-uni 3660	. . 3 |- U. B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
13	12	csbeq2i 2958	. 2 |- [_ A / x ]_ U. B = [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
14		df-uni 3660	. 2 |- U. [_ A / x ]_ B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) }
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2146	1 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   {cab 2075   [.wsbc 2841   [_csb 2934   U.cuni 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-uni 3660

This theorem is referenced by: (None)