Theorem dmiin 4978

Description: Domain of an intersection. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmiin	⊢ dom ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐵

Proof of Theorem dmiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfii1 4001	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
2	1	nfdm 4976	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥dom ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
3	2	ssiinf 4020	. 2 ⊢ (dom ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 dom ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ dom 𝐵)
4		iinss2 4023	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐵)
5		dmss 4930	. . 3 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐵 → dom ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ dom 𝐵)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → dom ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ dom 𝐵)
7	3, 6	mprgbir 2590	1 ⊢ dom ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 dom 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ∩ ciin 3971  dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-iin 3973  df-br 4089  df-dm 4735

This theorem is referenced by: (None)