Theorem dmss 4982

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Proof of Theorem dmss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	eximdv 1933	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. y <. x , y >. e. A -> E. y <. x , y >. e. B ) )
3		vex 2824	. . . 4 |- x e. _V
4	3	eldm2 4981	. . 3 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
5	3	eldm2 4981	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
6	2, 4, 5	3imtr4g 205	. 2 |- ( A C_ B -> ( x e. dom A -> x e. dom B ) )
7	6	ssrdv 3254	1 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   E.wex 1545   e. wcel 2209   C_ wss 3220   <.cop 3712   dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  dmeq  4983  dmv  4999  rnss  5014  dmiin  5030  dmxpss2  5223  ssxpbm  5226  ssxp1  5227  cocnvres  5315  relrelss  5317  funssxp  5560  fvun1  5772  fndmdif  5817  fneqeql2  5821  funsssuppss  6502  tposss  6521  smores  6567  smores2  6569  tfrlemibfn  6603  tfrlemiubacc  6605  tfr1onlembfn  6619  tfr1onlemubacc  6621  tfr1onlemres  6624  tfrcllembfn  6632  tfrcllemubacc  6634  tfrcllemres  6637  frecuzrdgtcl  10870  frecuzrdgdomlem  10875  hashdmprop2dom  11318  ennnfonelemex  13363  strleund  13516  strleun  13517  imasaddfnlemg  13694  dvbssntrcntop  15910  subgreldmiedg  16715