Theorem dmss 4930

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Proof of Theorem dmss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3221	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	eximdv 1928	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. y <. x , y >. e. A -> E. y <. x , y >. e. B ) )
3		vex 2805	. . . 4 |- x e. _V
4	3	eldm2 4929	. . 3 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
5	3	eldm2 4929	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
6	2, 4, 5	3imtr4g 205	. 2 |- ( A C_ B -> ( x e. dom A -> x e. dom B ) )
7	6	ssrdv 3233	1 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1540   e. wcel 2202   C_ wss 3200   <.cop 3672   dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-dm 4735

This theorem is referenced by:  dmeq  4931  dmv  4947  rnss  4962  dmiin  4978  dmxpss2  5169  ssxpbm  5172  ssxp1  5173  cocnvres  5261  relrelss  5263  funssxp  5504  fvun1  5712  fndmdif  5752  fneqeql2  5756  tposss  6411  smores  6457  smores2  6459  tfrlemibfn  6493  tfrlemiubacc  6495  tfr1onlembfn  6509  tfr1onlemubacc  6511  tfr1onlemres  6514  tfrcllembfn  6522  tfrcllemubacc  6524  tfrcllemres  6527  frecuzrdgtcl  10673  frecuzrdgdomlem  10678  hashdmprop2dom  11107  ennnfonelemex  13034  strleund  13185  strleun  13186  imasaddfnlemg  13396  dvbssntrcntop  15407  subgreldmiedg  16119