Theorem dmss 4866

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Proof of Theorem dmss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3178	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	eximdv 1894	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. y <. x , y >. e. A -> E. y <. x , y >. e. B ) )
3		vex 2766	. . . 4 |- x e. _V
4	3	eldm2 4865	. . 3 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
5	3	eldm2 4865	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
6	2, 4, 5	3imtr4g 205	. 2 |- ( A C_ B -> ( x e. dom A -> x e. dom B ) )
7	6	ssrdv 3190	1 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1506   e. wcel 2167   C_ wss 3157   <.cop 3626   dom cdm 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-dm 4674

This theorem is referenced by:  dmeq  4867  dmv  4883  rnss  4897  dmiin  4913  dmxpss2  5103  ssxpbm  5106  ssxp1  5107  cocnvres  5195  relrelss  5197  funssxp  5428  fvun1  5628  fndmdif  5668  fneqeql2  5672  tposss  6306  smores  6352  smores2  6354  tfrlemibfn  6388  tfrlemiubacc  6390  tfr1onlembfn  6404  tfr1onlemubacc  6406  tfr1onlemres  6409  tfrcllembfn  6417  tfrcllemubacc  6419  tfrcllemres  6422  frecuzrdgtcl  10507  frecuzrdgdomlem  10512  ennnfonelemex  12642  strleund  12792  strleun  12793  imasaddfnlemg  12983  dvbssntrcntop  14946