Theorem dmss 4955

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Proof of Theorem dmss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3232	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	eximdv 1929	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. y <. x , y >. e. A -> E. y <. x , y >. e. B ) )
3		vex 2816	. . . 4 |- x e. _V
4	3	eldm2 4954	. . 3 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
5	3	eldm2 4954	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
6	2, 4, 5	3imtr4g 205	. 2 |- ( A C_ B -> ( x e. dom A -> x e. dom B ) )
7	6	ssrdv 3244	1 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1541   e. wcel 2203   C_ wss 3211   <.cop 3692   dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  dmeq  4956  dmv  4972  rnss  4987  dmiin  5003  dmxpss2  5195  ssxpbm  5198  ssxp1  5199  cocnvres  5287  relrelss  5289  funssxp  5532  fvun1  5743  fndmdif  5783  fneqeql2  5787  funsssuppss  6458  tposss  6477  smores  6523  smores2  6525  tfrlemibfn  6559  tfrlemiubacc  6561  tfr1onlembfn  6575  tfr1onlemubacc  6577  tfr1onlemres  6580  tfrcllembfn  6588  tfrcllemubacc  6590  tfrcllemres  6593  frecuzrdgtcl  10774  frecuzrdgdomlem  10779  hashdmprop2dom  11216  ennnfonelemex  13165  strleund  13316  strleun  13317  imasaddfnlemg  13527  dvbssntrcntop  15549  subgreldmiedg  16264