Theorem dmss 4975

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Proof of Theorem dmss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	eximdv 1933	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. y <. x , y >. e. A -> E. y <. x , y >. e. B ) )
3		vex 2824	. . . 4 |- x e. _V
4	3	eldm2 4974	. . 3 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
5	3	eldm2 4974	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
6	2, 4, 5	3imtr4g 205	. 2 |- ( A C_ B -> ( x e. dom A -> x e. dom B ) )
7	6	ssrdv 3254	1 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1545   e. wcel 2209   C_ wss 3220   <.cop 3708   dom cdm 4769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-dm 4779

This theorem is referenced by:  dmeq  4976  dmv  4992  rnss  5007  dmiin  5023  dmxpss2  5215  ssxpbm  5218  ssxp1  5219  cocnvres  5307  relrelss  5309  funssxp  5552  fvun1  5763  fndmdif  5805  fneqeql2  5809  funsssuppss  6488  tposss  6507  smores  6553  smores2  6555  tfrlemibfn  6589  tfrlemiubacc  6591  tfr1onlembfn  6605  tfr1onlemubacc  6607  tfr1onlemres  6610  tfrcllembfn  6618  tfrcllemubacc  6620  tfrcllemres  6623  frecuzrdgtcl  10827  frecuzrdgdomlem  10832  hashdmprop2dom  11274  ennnfonelemex  13283  strleund  13434  strleun  13435  imasaddfnlemg  13612  dvbssntrcntop  15708  subgreldmiedg  16424