Theorem dmss 4746

Description: Subset theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmss	|- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Proof of Theorem dmss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3096	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	eximdv 1853	. . 3 |- ( A C_ B -> ( E. y <. x , y >. e. A -> E. y <. x , y >. e. B ) )
3		vex 2692	. . . 4 |- x e. _V
4	3	eldm2 4745	. . 3 |- ( x e. dom A <-> E. y <. x , y >. e. A )
5	3	eldm2 4745	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y <. x , y >. e. B )
6	2, 4, 5	3imtr4g 204	. 2 |- ( A C_ B -> ( x e. dom A -> x e. dom B ) )
7	6	ssrdv 3108	1 |- ( A C_ B -> dom A C_ dom B )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1469   e. wcel 1481   C_ wss 3076   <.cop 3535   dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  dmeq  4747  dmv  4763  rnss  4777  dmiin  4793  dmxpss2  4979  ssxpbm  4982  ssxp1  4983  cocnvres  5071  relrelss  5073  funssxp  5300  fvun1  5495  fndmdif  5533  fneqeql2  5537  tposss  6151  smores  6197  smores2  6199  tfrlemibfn  6233  tfrlemiubacc  6235  tfr1onlembfn  6249  tfr1onlemubacc  6251  tfr1onlemres  6254  tfrcllembfn  6262  tfrcllemubacc  6264  tfrcllemres  6267  frecuzrdgtcl  10216  frecuzrdgdomlem  10221  ennnfonelemex  11963  strleund  12086  strleun  12087  dvbssntrcntop  12861