Theorem rnopab 4979

Description: The range of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rnopab	|- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem rnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4158	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4159	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfrnf 4973	. 2 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 4089	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4350	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 184	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1653	. . 3 |- ( E. x x { <. x , y >. | ph } y <-> E. x ph )
8	7	abbii 2347	. 2 |- { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y } = { y | E. x ph }
9	3, 8	eqtri 2252	1 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Syntax hints:   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cab 2217   <.cop 3672   class class class wbr 4088   {copab 4149   ran crn 4726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736

This theorem is referenced by:  rnmpt  4980  mptpreima  5230  rnoprab  6103