Theorem rnopab 4851

Description: The range of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rnopab	|- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem rnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4051	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4052	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfrnf 4845	. 2 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 3983	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4235	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1593	. . 3 |- ( E. x x { <. x , y >. | ph } y <-> E. x ph )
8	7	abbii 2282	. 2 |- { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y } = { y | E. x ph }
9	3, 8	eqtri 2186	1 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Syntax hints:   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   <.cop 3579   class class class wbr 3982   {copab 4042   ran crn 4605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615

This theorem is referenced by:  rnmpt  4852  mptpreima  5097  rnoprab  5925