Theorem rnopab 4858

Description: The range of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rnopab	|- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem rnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4058	. . 3 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab2 4059	. . 3 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
3	1, 2	dfrnf 4852	. 2 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y }
4		df-br 3990	. . . . 5 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opabid 4242	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
6	4, 5	bitri 183	. . . 4 |- ( x { <. x , y >. | ph } y <-> ph )
7	6	exbii 1598	. . 3 |- ( E. x x { <. x , y >. | ph } y <-> E. x ph )
8	7	abbii 2286	. 2 |- { y | E. x x { <. x , y >. | ph } y } = { y | E. x ph }
9	3, 8	eqtri 2191	1 |- ran { <. x , y >. | ph } = { y | E. x ph }

Syntax hints:   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   <.cop 3586   class class class wbr 3989   {copab 4049   ran crn 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622

This theorem is referenced by:  rnmpt  4859  mptpreima  5104  rnoprab  5936