Theorem eqbrrdiv 4677

Description: Deduction from extensionality principle for relations. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrrdiv.1	|- Rel A
eqbrrdiv.2	|- Rel B
eqbrrdiv.3	|- ( ph -> ( x A y <-> x B y ) )

Assertion

Ref	Expression
eqbrrdiv	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqbrrdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrrdiv.1	. 2 |- Rel A
2		eqbrrdiv.2	. 2 |- Rel B
3		eqbrrdiv.3	. . 3 |- ( ph -> ( x A y <-> x B y ) )
4		df-br 3962	. . 3 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
5		df-br 3962	. . 3 |- ( x B y <-> <. x , y >. e. B )
6	3, 4, 5	3bitr3g 221	. 2 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
7	1, 2, 6	eqrelrdv 4675	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   <.cop 3559   class class class wbr 3961   Rel wrel 4584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-br 3962  df-opab 4022  df-xp 4585  df-rel 4586

This theorem is referenced by: (None)