Theorem eqrelrdv 4771

Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqrelrdv.1	|- Rel A
eqrelrdv.2	|- Rel B
eqrelrdv.3	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv.3	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1898	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
3		eqrelrdv.1	. . 3 |- Rel A
4		eqrelrdv.2	. . 3 |- Rel B
5		eqrel 4764	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 |- ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
7	2, 6	sylibr 134	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   Rel wrel 4680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682

This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4773  fcnvres  5459  fmptco  5746  fisumcom2  11749  fprodcom2fi  11937  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555