ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrelrdv Unicode version

Theorem eqrelrdv 4719
Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
eqrelrdv.1  |-  Rel  A
eqrelrdv.2  |-  Rel  B
eqrelrdv.3  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Assertion
Ref Expression
eqrelrdv  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv
StepHypRef Expression
1 eqrelrdv.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 1875 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
3 eqrelrdv.1 . . 3  |-  Rel  A
4 eqrelrdv.2 . . 3  |-  Rel  B
5 eqrel 4712 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
63, 4, 5mp2an 426 . 2  |-  ( A  =  B  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <.
x ,  y >.  e.  B ) )
72, 6sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3594   Rel wrel 4628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-opab 4062  df-xp 4629  df-rel 4630
This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4721  fcnvres  5395  fmptco  5678  fisumcom2  11427  fprodcom2fi  11615
  Copyright terms: Public domain W3C validator