Theorem eqrelrdv 4530

Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqrelrdv.1	|- Rel A
eqrelrdv.2	|- Rel B
eqrelrdv.3	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv.3	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1803	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
3		eqrelrdv.1	. . 3 |- Rel A
4		eqrelrdv.2	. . 3 |- Rel B
5		eqrel 4523	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 417	. 2 |- ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
7	2, 6	sylibr 132	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1287   = wceq 1289   e. wcel 1438   <.cop 3447   Rel wrel 4441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-opab 3898  df-xp 4442  df-rel 4443

This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4532  fcnvres  5188  fmptco  5458  fisumcom2  10819