ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrelrdv2 Unicode version

Theorem eqrelrdv2 4537
Description: A version of eqrelrdv 4534. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
eqrelrdv2.1  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Assertion
Ref Expression
eqrelrdv2  |-  ( ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  /\  ph )  ->  A  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv2
StepHypRef Expression
1 eqrelrdv2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 1803 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
32adantl 271 . 2  |-  ( ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  /\  ph )  ->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
4 eqrel 4527 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
54adantr 270 . 2  |-  ( ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  /\  ph )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
63, 5mpbird 165 1  |-  ( ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  /\  ph )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449   Rel wrel 4443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445
This theorem is referenced by:  xpiindim  4573  fliftcnv  5574  dmtpos  6021  ercnv  6313
  Copyright terms: Public domain W3C validator