Theorem eqrelrdv2 4792

Description: A version of eqrelrdv 4789. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelrdv2.1	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv2	|- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv2.1	. . . 4 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1899	. . 3 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
4		eqrel 4782	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
6	3, 5	mpbird 167	1 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   Rel wrel 4698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700

This theorem is referenced by:  xpiindim  4833  fliftcnv  5887  dmtpos  6365  ercnv  6664