Theorem eqrelrdv2 4849

Description: A version of eqrelrdv 4846. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelrdv2.1	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv2	|- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem eqrelrdv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv2.1	. . . 4 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1924	. . 3 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) )
4		eqrel 4839	. . 3 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
6	3, 5	mpbird 167	1 |- ( ( ( Rel A /\ Rel B ) /\ ph ) -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   Rel wrel 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756

This theorem is referenced by:  xpiindim  4892  fliftcnv  5968  dmtpos  6487  ercnv  6788