Theorem exmidel 4136

Description: Excluded middle is equivalent to decidability of membership for two arbitrary sets. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidel	|- (EXMID <-> A. x A. yDECID x e. y )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidexmid 4128	. . 3 |- (EXMID -> DECID x e. y )
2	1	alrimivv 1848	. 2 |- (EXMID -> A. x A. yDECID x e. y )
3		0ex 4063	. . . 4 |- (/) e. _V
4		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. y <-> (/) e. y ) )
5	4	dcbid 824	. . . . 5 |- ( x = (/) -> (DECID x e. y <-> DECID (/) e. y ) )
6	5	albidv 1797	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. yDECID x e. y <-> A. yDECID (/) e. y ) )
7	3, 6	spcv 2783	. . 3 |- ( A. x A. yDECID x e. y -> A. yDECID (/) e. y )
8		exmid0el 4135	. . 3 |- (EXMID <-> A. yDECID (/) e. y )
9	7, 8	sylibr 133	. 2 |- ( A. x A. yDECID x e. y -> EXMID )
10	2, 9	impbii 125	1 |- (EXMID <-> A. x A. yDECID x e. y )

Syntax hints:   <-> wb 104  DECID wdc 820   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   (/)c0 3368  EXMIDwem 4126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-exmid 4127

This theorem is referenced by: (None)