Theorem exmidel 4207

Description: Excluded middle is equivalent to decidability of membership for two arbitrary sets. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidel	|- (EXMID <-> A. x A. yDECID x e. y )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidexmid 4198	. . 3 |- (EXMID -> DECID x e. y )
2	1	alrimivv 1875	. 2 |- (EXMID -> A. x A. yDECID x e. y )
3		0ex 4132	. . . 4 |- (/) e. _V
4		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. y <-> (/) e. y ) )
5	4	dcbid 838	. . . . 5 |- ( x = (/) -> (DECID x e. y <-> DECID (/) e. y ) )
6	5	albidv 1824	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. yDECID x e. y <-> A. yDECID (/) e. y ) )
7	3, 6	spcv 2833	. . 3 |- ( A. x A. yDECID x e. y -> A. yDECID (/) e. y )
8		exmid0el 4206	. . 3 |- (EXMID <-> A. yDECID (/) e. y )
9	7, 8	sylibr 134	. 2 |- ( A. x A. yDECID x e. y -> EXMID )
10	2, 9	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. yDECID x e. y )

Syntax hints:   <-> wb 105  DECID wdc 834   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3424  EXMIDwem 4196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-exmid 4197

This theorem is referenced by: (None)