Theorem exmidundif 4250

Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. That is, the union of a subset and its relative complement being the whole set. Although special cases such as undifss 3541 and undifdcss 7020 are provable, the full statement is equivalent to excluded middle as shown here. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidundif	|- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidundif

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undifss 3541	. . . . . . . 8 |- ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
4		elun1 3340	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. x -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. y )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
8	6, 7	eldifd 3176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( y \ x ) )
9		elun2 3341	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y \ x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
11		exmidexmid 4240	. . . . . . . . . . . 12 |- (EXMID -> DECID z e. x )
12		exmiddc 838	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID z e. x -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
15	5, 10, 14	mpjaodan 800	. . . . . . . . 9 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
16	15	ex 115	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( z e. y -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) ) )
17	16	ssrdv 3199	. . . . . . 7 |- (EXMID -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
19	3, 18	eqssd 3210	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = y )
20	19	ex 115	. . . 4 |- (EXMID -> ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
21		ssun1 3336	. . . . 5 |- x C_ ( x u. ( y \ x ) )
22		sseq2 3217	. . . . 5 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> ( x C_ ( x u. ( y \ x ) ) <-> x C_ y ) )
23	21, 22	mpbii 148	. . . 4 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> x C_ y )
24	20, 23	impbid1 142	. . 3 |- (EXMID -> ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
25	24	alrimivv 1898	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
26		vex 2775	. . . . . 6 |- z e. _V
27		p0ex 4232	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
28		sseq12 3218	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x C_ y <-> z C_ { (/) } ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> x = z )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> y = { (/) } )
31	30, 29	difeq12d 3292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( y \ x ) = ( { (/) } \ z ) )
32	29, 31	uneq12d 3328	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
33	32, 30	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x u. ( y \ x ) ) = y <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
34	28, 33	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) <-> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
35	34	spc2gv 2864	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
36	26, 27, 35	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
37		0ex 4171	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
38	37	snid 3664	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
39		eleq2 2269	. . . . . . 7 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> (/) e. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
41		eldifn 3296	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( { (/) } \ z ) -> -. (/) e. z )
42	41	orim2i 763	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) -> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
43		elun 3314	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) )
44		df-dc 837	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. z <-> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
45	42, 43, 44	3imtr4i 201	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) -> DECID (/) e. z )
46	40, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> DECID (/) e. z )
47	36, 46	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
48	47	alrimiv 1897	. . 3 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
49		df-exmid 4239	. . 3 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
50	48, 49	sylibr 134	. 2 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> EXMID )
51	25, 50	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   u. cun 3164   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633  EXMIDwem 4238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-exmid 4239

This theorem is referenced by: (None)