Theorem exmidundif 4221

Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. That is, the union of a subset and its relative complement being the whole set. Although special cases such as undifss 3518 and undifdcss 6940 are provable, the full statement is equivalent to excluded middle as shown here. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidundif	|- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidundif

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undifss 3518	. . . . . . . 8 |- ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
4		elun1 3317	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. x -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. y )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
8	6, 7	eldifd 3154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( y \ x ) )
9		elun2 3318	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y \ x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
11		exmidexmid 4211	. . . . . . . . . . . 12 |- (EXMID -> DECID z e. x )
12		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID z e. x -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
15	5, 10, 14	mpjaodan 799	. . . . . . . . 9 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
16	15	ex 115	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( z e. y -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) ) )
17	16	ssrdv 3176	. . . . . . 7 |- (EXMID -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
19	3, 18	eqssd 3187	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = y )
20	19	ex 115	. . . 4 |- (EXMID -> ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
21		ssun1 3313	. . . . 5 |- x C_ ( x u. ( y \ x ) )
22		sseq2 3194	. . . . 5 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> ( x C_ ( x u. ( y \ x ) ) <-> x C_ y ) )
23	21, 22	mpbii 148	. . . 4 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> x C_ y )
24	20, 23	impbid1 142	. . 3 |- (EXMID -> ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
25	24	alrimivv 1886	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
26		vex 2755	. . . . . 6 |- z e. _V
27		p0ex 4203	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
28		sseq12 3195	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x C_ y <-> z C_ { (/) } ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> x = z )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> y = { (/) } )
31	30, 29	difeq12d 3269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( y \ x ) = ( { (/) } \ z ) )
32	29, 31	uneq12d 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
33	32, 30	eqeq12d 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x u. ( y \ x ) ) = y <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
34	28, 33	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) <-> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
35	34	spc2gv 2843	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
36	26, 27, 35	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
37		0ex 4145	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
38	37	snid 3638	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
39		eleq2 2253	. . . . . . 7 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> (/) e. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
41		eldifn 3273	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( { (/) } \ z ) -> -. (/) e. z )
42	41	orim2i 762	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) -> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
43		elun 3291	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) )
44		df-dc 836	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. z <-> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
45	42, 43, 44	3imtr4i 201	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) -> DECID (/) e. z )
46	40, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> DECID (/) e. z )
47	36, 46	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
48	47	alrimiv 1885	. . 3 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
49		df-exmid 4210	. . 3 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
50	48, 49	sylibr 134	. 2 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> EXMID )
51	25, 50	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   \ cdif 3141   u. cun 3142   C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607  EXMIDwem 4209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-exmid 4210

This theorem is referenced by: (None)