Theorem exmidundif 4319

Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. That is, the union of a subset and its relative complement being the whole set. Although special cases such as undifss 3590 and undifdcss 7183 are provable, the full statement is equivalent to excluded middle as shown here. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidundif	|- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidundif

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undifss 3590	. . . . . . . 8 |- ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
4		elun1 3386	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. x -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
6		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. y )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
8	6, 7	eldifd 3221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( y \ x ) )
9		elun2 3387	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y \ x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
11		exmidexmid 4309	. . . . . . . . . . . 12 |- (EXMID -> DECID z e. x )
12		exmiddc 844	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID z e. x -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
15	5, 10, 14	mpjaodan 806	. . . . . . . . 9 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
16	15	ex 115	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( z e. y -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) ) )
17	16	ssrdv 3244	. . . . . . 7 |- (EXMID -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
19	3, 18	eqssd 3255	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = y )
20	19	ex 115	. . . 4 |- (EXMID -> ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
21		ssun1 3382	. . . . 5 |- x C_ ( x u. ( y \ x ) )
22		sseq2 3262	. . . . 5 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> ( x C_ ( x u. ( y \ x ) ) <-> x C_ y ) )
23	21, 22	mpbii 148	. . . 4 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> x C_ y )
24	20, 23	impbid1 142	. . 3 |- (EXMID -> ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
25	24	alrimivv 1924	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
26		vex 2816	. . . . . 6 |- z e. _V
27		p0ex 4301	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
28		sseq12 3263	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x C_ y <-> z C_ { (/) } ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> x = z )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> y = { (/) } )
31	30, 29	difeq12d 3338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( y \ x ) = ( { (/) } \ z ) )
32	29, 31	uneq12d 3374	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
33	32, 30	eqeq12d 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x u. ( y \ x ) ) = y <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
34	28, 33	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) <-> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
35	34	spc2gv 2908	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
36	26, 27, 35	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
37		0ex 4237	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
38	37	snid 3720	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
39		eleq2 2296	. . . . . . 7 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> (/) e. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
41		eldifn 3342	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( { (/) } \ z ) -> -. (/) e. z )
42	41	orim2i 769	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) -> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
43		elun 3360	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) )
44		df-dc 843	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. z <-> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
45	42, 43, 44	3imtr4i 201	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) -> DECID (/) e. z )
46	40, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> DECID (/) e. z )
47	36, 46	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
48	47	alrimiv 1923	. . 3 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
49		df-exmid 4308	. . 3 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
50	48, 49	sylibr 134	. 2 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> EXMID )
51	25, 50	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689  EXMIDwem 4307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-exmid 4308

This theorem is referenced by: (None)