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Theorem exmidundif 3999
Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. That is, the union of a subset and its relative complement being the whole set. Although special cases such as undifss 3344 and undifdcss 6560 are provable, the full statement is equivalent to excluded middle as shown here. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidundif  |-  (EXMID  <->  A. x A. y ( x  C_  y 
<->  ( x  u.  (
y  \  x )
)  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem exmidundif
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 undifss 3344 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  y  <->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  C_  y
)
21biimpi 118 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  y  ->  (
x  u.  ( y 
\  x ) ) 
C_  y )
32adantl 271 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  x  C_  y )  ->  ( x  u.  (
y  \  x )
)  C_  y )
4 elun1 3151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  z  e.  ( x  u.  (
y  \  x )
) )
54adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  ( x  u.  (
y  \  x )
) )
6 simplr 497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  -.  z  e.  x )  ->  z  e.  y )
7 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  -.  z  e.  x )  ->  -.  z  e.  x )
86, 7eldifd 2994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  -.  z  e.  x )  ->  z  e.  ( y  \  x
) )
9 elun2 3152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( y  \  x )  ->  z  e.  ( x  u.  (
y  \  x )
) )
108, 9syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (EXMID 
/\  z  e.  y )  /\  -.  z  e.  x )  ->  z  e.  ( x  u.  (
y  \  x )
) )
11 exmidexmid 3995 . . . . . . . . . . . 12  |-  (EXMID  -> DECID  z  e.  x
)
12 exmiddc 778 . . . . . . . . . . . 12  |-  (DECID  z  e.  x  ->  ( z  e.  x  \/  -.  z  e.  x )
)
1311, 12syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  (EXMID  ->  (
z  e.  x  \/ 
-.  z  e.  x
) )
1413adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (EXMID  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  x  \/  -.  z  e.  x ) )
155, 10, 14mpjaodan 745 . . . . . . . . 9  |-  ( (EXMID  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  ( x  u.  ( y 
\  x ) ) )
1615ex 113 . . . . . . . 8  |-  (EXMID  ->  (
z  e.  y  -> 
z  e.  ( x  u.  ( y  \  x ) ) ) )
1716ssrdv 3016 . . . . . . 7  |-  (EXMID  ->  y  C_  ( x  u.  (
y  \  x )
) )
1817adantr 270 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\  x  C_  y )  ->  y  C_  ( x  u.  ( y  \  x
) ) )
193, 18eqssd 3027 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\  x  C_  y )  ->  ( x  u.  (
y  \  x )
)  =  y )
2019ex 113 . . . 4  |-  (EXMID  ->  (
x  C_  y  ->  ( x  u.  ( y 
\  x ) )  =  y ) )
21 ssun1 3147 . . . . 5  |-  x  C_  ( x  u.  (
y  \  x )
)
22 sseq2 3032 . . . . 5  |-  ( ( x  u.  ( y 
\  x ) )  =  y  ->  (
x  C_  ( x  u.  ( y  \  x
) )  <->  x  C_  y
) )
2321, 22mpbii 146 . . . 4  |-  ( ( x  u.  ( y 
\  x ) )  =  y  ->  x  C_  y )
2420, 23impbid1 140 . . 3  |-  (EXMID  ->  (
x  C_  y  <->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  =  y ) )
2524alrimivv 1798 . 2  |-  (EXMID  ->  A. x A. y ( x  C_  y 
<->  ( x  u.  (
y  \  x )
)  =  y ) )
26 vex 2615 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
27 p0ex 3987 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
28 sseq12 3033 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  { (/) } )  ->  ( x  C_  y 
<->  z  C_  { (/) } ) )
29 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  { (/) } )  ->  x  =  z )
30 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  { (/) } )  ->  y  =  { (/)
} )
3130, 29difeq12d 3103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  { (/) } )  ->  ( y  \  x )  =  ( { (/) }  \  z
) )
3229, 31uneq12d 3139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  { (/) } )  ->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  =  ( z  u.  ( {
(/) }  \  z
) ) )
3332, 30eqeq12d 2097 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  { (/) } )  ->  ( ( x  u.  ( y  \  x ) )  =  y  <->  ( z  u.  ( { (/) }  \ 
z ) )  =  { (/) } ) )
3428, 33bibi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  { (/) } )  ->  ( ( x 
C_  y  <->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  =  y )  <->  ( z  C_  {
(/) }  <->  ( z  u.  ( { (/) }  \ 
z ) )  =  { (/) } ) ) )
3534spc2gv 2699 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( A. x A. y ( x  C_  y 
<->  ( x  u.  (
y  \  x )
)  =  y )  ->  ( z  C_  {
(/) }  <->  ( z  u.  ( { (/) }  \ 
z ) )  =  { (/) } ) ) )
3626, 27, 35mp2an 417 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( x 
C_  y  <->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  =  y )  ->  ( z  C_ 
{ (/) }  <->  ( z  u.  ( { (/) }  \ 
z ) )  =  { (/) } ) )
37 0ex 3931 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
3837snid 3449 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
}
39 eleq2 2146 . . . . . . 7  |-  ( ( z  u.  ( {
(/) }  \  z
) )  =  { (/)
}  ->  ( (/)  e.  ( z  u.  ( {
(/) }  \  z
) )  <->  (/)  e.  { (/)
} ) )
4038, 39mpbiri 166 . . . . . 6  |-  ( ( z  u.  ( {
(/) }  \  z
) )  =  { (/)
}  ->  (/)  e.  ( z  u.  ( {
(/) }  \  z
) ) )
41 eldifn 3107 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ( { (/) }  \ 
z )  ->  -.  (/) 
e.  z )
4241orim2i 711 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  z  \/  (/) 
e.  ( { (/) } 
\  z ) )  ->  ( (/)  e.  z  \/  -.  (/)  e.  z ) )
43 elun 3125 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ( z  u.  ( { (/) }  \  z
) )  <->  ( (/)  e.  z  \/  (/)  e.  ( {
(/) }  \  z
) ) )
44 df-dc 777 . . . . . . 7  |-  (DECID  (/)  e.  z  <-> 
( (/)  e.  z  \/ 
-.  (/)  e.  z ) )
4542, 43, 443imtr4i 199 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  ( z  u.  ( { (/) }  \  z
) )  -> DECID  (/)  e.  z )
4640, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ( z  u.  ( {
(/) }  \  z
) )  =  { (/)
}  -> DECID  (/)  e.  z )
4736, 46syl6bi 161 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( x 
C_  y  <->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  =  y )  ->  ( z  C_ 
{ (/) }  -> DECID  (/)  e.  z ) )
4847alrimiv 1797 . . 3  |-  ( A. x A. y ( x 
C_  y  <->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  =  y )  ->  A. z
( z  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  z ) )
49 df-exmid 3994 . . 3  |-  (EXMID  <->  A. z
( z  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  z ) )
5048, 49sylibr 132 . 2  |-  ( A. x A. y ( x 
C_  y  <->  ( x  u.  ( y  \  x
) )  =  y )  -> EXMID )
5125, 50impbii 124 1  |-  (EXMID  <->  A. x A. y ( x  C_  y 
<->  ( x  u.  (
y  \  x )
)  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2612    \ cdif 2981    u. cun 2982    C_ wss 2984   (/)c0 3269   {csn 3422  EXMIDwem 3993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-exmid 3994
This theorem is referenced by: (None)
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