Theorem exmidundif 4294

Description: Excluded middle is equivalent to every subset having a complement. That is, the union of a subset and its relative complement being the whole set. Although special cases such as undifss 3573 and undifdcss 7108 are provable, the full statement is equivalent to excluded middle as shown here. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidundif	|- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem exmidundif

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		undifss 3573	. . . . . . . 8 |- ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) C_ y )
4		elun1 3372	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. x -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. y )
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> -. z e. x )
8	6, 7	eldifd 3208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( y \ x ) )
9		elun2 3373	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( y \ x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (EXMID /\ z e. y ) /\ -. z e. x ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
11		exmidexmid 4284	. . . . . . . . . . . 12 |- (EXMID -> DECID z e. x )
12		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID z e. x -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- (EXMID -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> ( z e. x \/ -. z e. x ) )
15	5, 10, 14	mpjaodan 803	. . . . . . . . 9 |- ( (EXMID /\ z e. y ) -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) )
16	15	ex 115	. . . . . . . 8 |- (EXMID -> ( z e. y -> z e. ( x u. ( y \ x ) ) ) )
17	16	ssrdv 3231	. . . . . . 7 |- (EXMID -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> y C_ ( x u. ( y \ x ) ) )
19	3, 18	eqssd 3242	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ x C_ y ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = y )
20	19	ex 115	. . . 4 |- (EXMID -> ( x C_ y -> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
21		ssun1 3368	. . . . 5 |- x C_ ( x u. ( y \ x ) )
22		sseq2 3249	. . . . 5 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> ( x C_ ( x u. ( y \ x ) ) <-> x C_ y ) )
23	21, 22	mpbii 148	. . . 4 |- ( ( x u. ( y \ x ) ) = y -> x C_ y )
24	20, 23	impbid1 142	. . 3 |- (EXMID -> ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
25	24	alrimivv 1921	. 2 |- (EXMID -> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )
26		vex 2803	. . . . . 6 |- z e. _V
27		p0ex 4276	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
28		sseq12 3250	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x C_ y <-> z C_ { (/) } ) )
29		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> x = z )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> y = { (/) } )
31	30, 29	difeq12d 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( y \ x ) = ( { (/) } \ z ) )
32	29, 31	uneq12d 3360	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( x u. ( y \ x ) ) = ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
33	32, 30	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x u. ( y \ x ) ) = y <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
34	28, 33	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( ( x = z /\ y = { (/) } ) -> ( ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) <-> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
35	34	spc2gv 2895	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) ) )
36	26, 27, 35	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } <-> ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } ) )
37		0ex 4214	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
38	37	snid 3698	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
39		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> (/) e. { (/) } ) )
40	38, 39	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) )
41		eldifn 3328	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( { (/) } \ z ) -> -. (/) e. z )
42	41	orim2i 766	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) -> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
43		elun 3346	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) <-> ( (/) e. z \/ (/) e. ( { (/) } \ z ) ) )
44		df-dc 840	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. z <-> ( (/) e. z \/ -. (/) e. z ) )
45	42, 43, 44	3imtr4i 201	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( z u. ( { (/) } \ z ) ) -> DECID (/) e. z )
46	40, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( z u. ( { (/) } \ z ) ) = { (/) } -> DECID (/) e. z )
47	36, 46	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
48	47	alrimiv 1920	. . 3 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
49		df-exmid 4283	. . 3 |- (EXMID <-> A. z ( z C_ { (/) } -> DECID (/) e. z ) )
50	48, 49	sylibr 134	. 2 |- ( A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) -> EXMID )
51	25, 50	impbii 126	1 |- (EXMID <-> A. x A. y ( x C_ y <-> ( x u. ( y \ x ) ) = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667  EXMIDwem 4282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-exmid 4283

This theorem is referenced by: (None)