Theorem ifelpwung 4495

Description: Existence of a conditional class, quantitative version (closed form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ifelpwung	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )

Proof of Theorem ifelpwung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifssun 3562	. 2 |- if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B )
2		unexg 4457	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		elpw2g 4170	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) <-> if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) <-> if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B ) ) )
5	1, 4	mpbiri 168	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2159   _Vcvv 2751   u. cun 3141   C_ wss 3143   ifcif 3548   ~Pcpw 3589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pr 4223  ax-un 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-uni 3824

This theorem is referenced by:  ifelpwund  4496  ifelpwun  4497