Theorem ifelpwung 4512

Description: Existence of a conditional class, quantitative version (closed form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ifelpwung	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )

Proof of Theorem ifelpwung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifssun 3571	. 2 |- if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B )
2		unexg 4474	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		elpw2g 4185	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) <-> if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) <-> if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B ) ) )
5	1, 4	mpbiri 168	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   C_ wss 3153   ifcif 3557   ~Pcpw 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  ifelpwund  4513  ifelpwun  4514