Theorem ifelpwung 4483

Description: Existence of a conditional class, quantitative version (closed form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ifelpwung	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )

Proof of Theorem ifelpwung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifssun 3550	. 2 |- if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B )
2		unexg 4445	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )
3		elpw2g 4158	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) <-> if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) <-> if ( ph , A , B ) C_ ( A u. B ) ) )
5	1, 4	mpbiri 168	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> if ( ph , A , B ) e. ~P ( A u. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   C_ wss 3131   ifcif 3536   ~Pcpw 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812

This theorem is referenced by:  ifelpwund  4484  ifelpwun  4485