Theorem ifelpwung 4466

Description: Existence of a conditional class, quantitative version (closed form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ifelpwung	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem ifelpwung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifssun 3540	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		elpw2g 4142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)))
5	1, 4	mpbiri 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119   ⊆ wss 3121  ifcif 3526  𝒫 cpw 3566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797

This theorem is referenced by:  ifelpwund  4467  ifelpwun  4468