Theorem elpw2g 4290

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	|- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3697	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		ssexg 4270	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
3		elpwg 3696	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
4	3	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A e. _V ) -> A e. ~P B )
5	2, 4	syldan 282	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. ~P B )
6	5	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A e. ~P B ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is referenced by:  elpw2  4291  if0elpw  4293  pwnss  4294  ifelpwung  4625  pw2f1odclem  7128  elfir  7301  2omap  7312  issubm  13762  issubg  13959  issubrng  14490  issubrg  14512  islssm  14677  islssmg  14678  lspval  14710  lspcl  14711  sraval  14757  aspval  14998  istopg  15083  uniopn  15085  iscld  15187  ntrval  15194  clsval  15195  discld  15220  neival  15227  isnei  15228  restdis  15268  cnpfval  15279  cndis  15325  blfvalps  15469  blfps  15493  blf  15494  reldvg  15763  pw1map  17008