Theorem elpw2g 4185

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	|- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3610	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		ssexg 4168	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
3		elpwg 3609	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
4	3	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A e. _V ) -> A e. ~P B )
5	2, 4	syldan 282	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. ~P B )
6	5	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A e. ~P B ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603

This theorem is referenced by:  elpw2  4186  pwnss  4188  ifelpwung  4512  pw2f1odclem  6890  elfir  7032  issubm  13044  issubg  13243  issubrng  13695  issubrg  13717  islssm  13853  islssmg  13854  lspval  13886  lspcl  13887  sraval  13933  istopg  14167  uniopn  14169  iscld  14271  ntrval  14278  clsval  14279  discld  14304  neival  14311  isnei  14312  restdis  14352  cnpfval  14363  cndis  14409  blfvalps  14553  blfps  14577  blf  14578  reldvg  14833