Theorem elpw2g 4273

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	|- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3683	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		ssexg 4254	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
3		elpwg 3682	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
4	3	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A e. _V ) -> A e. ~P B )
5	2, 4	syldan 282	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. ~P B )
6	5	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A e. ~P B ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   ~Pcpw 3674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676

This theorem is referenced by:  elpw2  4274  if0elpw  4276  pwnss  4277  ifelpwung  4607  pw2f1odclem  7100  elfir  7273  2omap  7282  issubm  13730  issubg  13929  issubrng  14448  issubrg  14470  islssm  14634  islssmg  14635  lspval  14667  lspcl  14668  sraval  14714  istopg  14993  uniopn  14995  iscld  15097  ntrval  15104  clsval  15105  discld  15130  neival  15137  isnei  15138  restdis  15178  cnpfval  15189  cndis  15235  blfvalps  15379  blfps  15403  blf  15404  reldvg  15673  pw1map  16908