Theorem elpw2g 4270

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	|- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3680	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		ssexg 4251	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
3		elpwg 3679	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
4	3	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A e. _V ) -> A e. ~P B )
5	2, 4	syldan 282	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. ~P B )
6	5	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A e. ~P B ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   ~Pcpw 3671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4230

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673

This theorem is referenced by:  elpw2  4271  if0elpw  4273  pwnss  4274  ifelpwung  4604  pw2f1odclem  7089  elfir  7262  2omap  7271  issubm  13706  issubg  13911  issubrng  14367  issubrg  14389  islssm  14554  islssmg  14555  lspval  14587  lspcl  14588  sraval  14634  istopg  14913  uniopn  14915  iscld  15017  ntrval  15024  clsval  15025  discld  15050  neival  15057  isnei  15058  restdis  15098  cnpfval  15109  cndis  15155  blfvalps  15299  blfps  15323  blf  15324  reldvg  15593  pw1map  16818