Theorem elpw2g 4158

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	|- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3586	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		ssexg 4144	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
3		elpwg 3585	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
4	3	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A e. _V ) -> A e. ~P B )
5	2, 4	syldan 282	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. ~P B )
6	5	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A e. ~P B ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579

This theorem is referenced by:  elpw2  4159  pwnss  4161  ifelpwung  4483  elfir  6975  issubm  12869  issubg  13039  issubrg  13348  islssm  13451  lspval  13483  lspcl  13484  sraval  13529  istopg  13639  uniopn  13641  iscld  13743  ntrval  13750  clsval  13751  discld  13776  neival  13783  isnei  13784  restdis  13824  cnpfval  13835  cndis  13881  blfvalps  14025  blfps  14049  blf  14050  reldvg  14288