Theorem elpw2g 4089

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	|- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3524	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		ssexg 4075	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
3		elpwg 3523	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
4	3	biimparc 297	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A e. _V ) -> A e. ~P B )
5	2, 4	syldan 280	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. ~P B )
6	5	expcom 115	. 2 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A e. ~P B ) )
7	1, 6	impbid2 142	1 |- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517

This theorem is referenced by:  elpw2  4090  pwnss  4091  elfir  6869  istopg  12205  uniopn  12207  iscld  12311  ntrval  12318  clsval  12319  discld  12344  neival  12351  isnei  12352  restdis  12392  cnpfval  12403  cndis  12449  blfvalps  12593  blfps  12617  blf  12618  reldvg  12856