Theorem elpw2g 4158

Description: Membership in a power class. Theorem 86 of [Suppes] p. 47. (Contributed by NM, 7-Aug-2000.)

Assertion

Ref	Expression
elpw2g	|- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Proof of Theorem elpw2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3586	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		ssexg 4144	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
3		elpwg 3585	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )
4	3	biimparc 299	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A e. _V ) -> A e. ~P B )
5	2, 4	syldan 282	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. ~P B )
6	5	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A e. ~P B ) )
7	1, 6	impbid2 143	1 |- ( B e. V -> ( A e. ~P B <-> A C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579

This theorem is referenced by:  elpw2  4159  pwnss  4161  ifelpwung  4483  elfir  6974  issubm  12868  issubg  13038  issubrg  13347  islssm  13450  istopg  13538  uniopn  13540  iscld  13642  ntrval  13649  clsval  13650  discld  13675  neival  13682  isnei  13683  restdis  13723  cnpfval  13734  cndis  13780  blfvalps  13924  blfps  13948  blf  13949  reldvg  14187