Theorem unexg 4591

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		elex 2833	. 2 |- ( B e. W -> B e. _V )
3		unexb 4590	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( A u. B ) e. _V )
4	3	biimpi 120	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936

This theorem is used by:  tpexg  4592  eldifpw  4625  ifelpwung  4629  xpexg  4891  unexd  4894  tposexg  6534  tfrlemisucaccv  6601  tfrlemibxssdm  6603  tfrlemibfn  6604  tfr1onlemsucaccv  6617  tfr1onlembxssdm  6619  tfr1onlembfn  6620  tfrcllemsucaccv  6630  tfrcllembxssdm  6632  tfrcllembfn  6633  rdgtfr  6650  rdgruledefgg  6651  rdgivallem  6657  djuex  7389  hashfibclem  11303  hashf1lem1  11306  zfz1isolem1  11313  ennnfonelemp1  13354  setsvalg  13439  setsex  13441  setsslid  13460  strleund  13515  gzsumvalx  13767  prdsex  14278  prdsval  14279  psrval  15160  plyval  15975  elply2  15978  plyss  15981  plyco  16002  plycj  16004  uhgrunop  16550  upgrunop  16590  umgrunop  16592