Theorem unexg 4584

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		elex 2833	. 2 |- ( B e. W -> B e. _V )
3		unexb 4583	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( A u. B ) e. _V )
4	3	biimpi 120	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931

This theorem is referenced by:  tpexg  4585  eldifpw  4618  ifelpwung  4622  xpexg  4884  unexd  4887  tposexg  6519  tfrlemisucaccv  6586  tfrlemibxssdm  6588  tfrlemibfn  6589  tfr1onlemsucaccv  6602  tfr1onlembxssdm  6604  tfr1onlembfn  6605  tfrcllemsucaccv  6615  tfrcllembxssdm  6617  tfrcllembfn  6618  rdgtfr  6635  rdgruledefgg  6636  rdgivallem  6642  djuex  7373  hashfibclem  11260  hashf1lem1  11263  zfz1isolem1  11270  ennnfonelemp1  13275  setsvalg  13360  setsex  13362  setsslid  13381  strleund  13434  gzsumvalx  13686  prdsex  14149  prdsval  14150  psrval  14973  plyval  15756  elply2  15759  plyss  15762  plyco  15783  plycj  15785  uhgrunop  16242  upgrunop  16282  umgrunop  16284