Theorem unexg 4540

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		elex 2814	. 2 |- ( B e. W -> B e. _V )
3		unexb 4539	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( A u. B ) e. _V )
4	3	biimpi 120	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A u. B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894

This theorem is referenced by:  tpexg  4541  eldifpw  4574  ifelpwung  4578  xpexg  4840  tposexg  6423  tfrlemisucaccv  6490  tfrlemibxssdm  6492  tfrlemibfn  6493  tfr1onlemsucaccv  6506  tfr1onlembxssdm  6508  tfr1onlembfn  6509  tfrcllemsucaccv  6519  tfrcllembxssdm  6521  tfrcllembfn  6522  rdgtfr  6539  rdgruledefgg  6540  rdgivallem  6546  djuex  7241  zfz1isolem1  11103  ennnfonelemp1  13026  setsvalg  13111  setsex  13113  setsslid  13132  strleund  13185  prdsex  13351  prdsval  13355  igsumvalx  13471  psrval  14679  plyval  15455  elply2  15458  plyss  15461  plyco  15482  plycj  15484  uhgrunop  15937  upgrunop  15977  umgrunop  15979