Theorem iunpw 4458

Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem iunpw

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3166	. . . . . . . 8 |- ( x = U. A -> ( y C_ x <-> y C_ U. A ) )
2	1	biimprcd 159	. . . . . . 7 |- ( y C_ U. A -> ( x = U. A -> y C_ x ) )
3	2	reximdv 2567	. . . . . 6 |- ( y C_ U. A -> ( E. x e. A x = U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
4	3	com12 30	. . . . 5 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
5		ssiun 3908	. . . . . 6 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U_ x e. A x )
6		uniiun 3919	. . . . . 6 |- U. A = U_ x e. A x
7	5, 6	sseqtrrdi 3191	. . . . 5 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U. A )
8	4, 7	impbid1 141	. . . 4 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A <-> E. x e. A y C_ x ) )
9		vex 2729	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	elpw 3565	. . . 4 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
11		eliun 3870	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y e. ~P x )
12		df-pw 3561	. . . . . . 7 |- ~P x = { y | y C_ x }
13	12	abeq2i 2277	. . . . . 6 |- ( y e. ~P x <-> y C_ x )
14	13	rexbii 2473	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
15	11, 14	bitri 183	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
16	8, 10, 15	3bitr4g 222	. . 3 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y e. ~P U. A <-> y e. U_ x e. A ~P x ) )
17	16	eqrdv 2163	. 2 |- ( E. x e. A x = U. A -> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )
18		ssid 3162	. . . . 5 |- U. A C_ U. A
19		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
20	19	uniex 4415	. . . . . . 7 |- U. A e. _V
21	20	elpw 3565	. . . . . 6 |- ( U. A e. ~P U. A <-> U. A C_ U. A )
22		eleq2 2230	. . . . . 6 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A e. ~P U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
23	21, 22	bitr3id 193	. . . . 5 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A C_ U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
24	18, 23	mpbii 147	. . . 4 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> U. A e. U_ x e. A ~P x )
25		eliun 3870	. . . 4 |- ( U. A e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A U. A e. ~P x )
26	24, 25	sylib 121	. . 3 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A U. A e. ~P x )
27		elssuni 3817	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
28		elpwi 3568	. . . . . . 7 |- ( U. A e. ~P x -> U. A C_ x )
29	27, 28	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
30		eqss 3157	. . . . . 6 |- ( x = U. A <-> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
31	29, 30	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> x = U. A )
32	31	ex 114	. . . 4 |- ( x e. A -> ( U. A e. ~P x -> x = U. A ) )
33	32	reximia 2561	. . 3 |- ( E. x e. A U. A e. ~P x -> E. x e. A x = U. A )
34	26, 33	syl 14	. 2 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A x = U. A )
35	17, 34	impbii 125	1 |- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   U_ciun 3866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-uni 3790  df-iun 3868

This theorem is referenced by: (None)