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Theorem iunpw 4463
Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
iunpw.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
iunpw  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem iunpw
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3171 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. A  -> 
( y  C_  x  <->  y 
C_  U. A ) )
21biimprcd 159 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. A  ->  (
x  =  U. A  ->  y  C_  x )
)
32reximdv 2571 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. A  ->  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
43com12 30 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
5 ssiun 3913 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U_ x  e.  A  x )
6 uniiun 3924 . . . . . 6  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
75, 6sseqtrrdi 3196 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U. A )
84, 7impbid1 141 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  <->  E. x  e.  A  y 
C_  x ) )
9 vex 2733 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
109elpw 3570 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P U. A  <->  y 
C_  U. A )
11 eliun 3875 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  e.  ~P x )
12 df-pw 3566 . . . . . . 7  |-  ~P x  =  { y  |  y 
C_  x }
1312abeq2i 2281 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P x  <->  y  C_  x )
1413rexbii 2477 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
1511, 14bitri 183 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
168, 10, 153bitr4g 222 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  e.  ~P U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ~P x ) )
1716eqrdv 2168 . 2  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
18 ssid 3167 . . . . 5  |-  U. A  C_ 
U. A
19 iunpw.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
2019uniex 4420 . . . . . . 7  |-  U. A  e.  _V
2120elpw 3570 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  C_  U. A )
22 eleq2 2234 . . . . . 6  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2321, 22bitr3id 193 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  C_ 
U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2418, 23mpbii 147 . . . 4  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x )
25 eliun 3875 . . . 4  |-  ( U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  U. A  e. 
~P x )
2624, 25sylib 121 . . 3  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x )
27 elssuni 3822 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
28 elpwi 3573 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  ~P x  ->  U. A  C_  x
)
2927, 28anim12i 336 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
30 eqss 3162 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  <->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
3129, 30sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  x  =  U. A )
3231ex 114 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( U. A  e.  ~P x  ->  x  =  U. A ) )
3332reximia 2565 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3426, 33syl 14 . 2  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3517, 34impbii 125 1  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   ~Pcpw 3564   U.cuni 3794   U_ciun 3871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-uni 3795  df-iun 3873
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