Theorem iunpw 4545

Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem iunpw

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3225	. . . . . . . 8 |- ( x = U. A -> ( y C_ x <-> y C_ U. A ) )
2	1	biimprcd 160	. . . . . . 7 |- ( y C_ U. A -> ( x = U. A -> y C_ x ) )
3	2	reximdv 2609	. . . . . 6 |- ( y C_ U. A -> ( E. x e. A x = U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
4	3	com12 30	. . . . 5 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
5		ssiun 3983	. . . . . 6 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U_ x e. A x )
6		uniiun 3995	. . . . . 6 |- U. A = U_ x e. A x
7	5, 6	sseqtrrdi 3250	. . . . 5 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U. A )
8	4, 7	impbid1 142	. . . 4 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A <-> E. x e. A y C_ x ) )
9		vex 2779	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	elpw 3632	. . . 4 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
11		eliun 3945	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y e. ~P x )
12		df-pw 3628	. . . . . . 7 |- ~P x = { y | y C_ x }
13	12	abeq2i 2318	. . . . . 6 |- ( y e. ~P x <-> y C_ x )
14	13	rexbii 2515	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
15	11, 14	bitri 184	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
16	8, 10, 15	3bitr4g 223	. . 3 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y e. ~P U. A <-> y e. U_ x e. A ~P x ) )
17	16	eqrdv 2205	. 2 |- ( E. x e. A x = U. A -> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )
18		ssid 3221	. . . . 5 |- U. A C_ U. A
19		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
20	19	uniex 4502	. . . . . . 7 |- U. A e. _V
21	20	elpw 3632	. . . . . 6 |- ( U. A e. ~P U. A <-> U. A C_ U. A )
22		eleq2 2271	. . . . . 6 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A e. ~P U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
23	21, 22	bitr3id 194	. . . . 5 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A C_ U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
24	18, 23	mpbii 148	. . . 4 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> U. A e. U_ x e. A ~P x )
25		eliun 3945	. . . 4 |- ( U. A e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A U. A e. ~P x )
26	24, 25	sylib 122	. . 3 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A U. A e. ~P x )
27		elssuni 3892	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
28		elpwi 3635	. . . . . . 7 |- ( U. A e. ~P x -> U. A C_ x )
29	27, 28	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
30		eqss 3216	. . . . . 6 |- ( x = U. A <-> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> x = U. A )
32	31	ex 115	. . . 4 |- ( x e. A -> ( U. A e. ~P x -> x = U. A ) )
33	32	reximia 2603	. . 3 |- ( E. x e. A U. A e. ~P x -> E. x e. A x = U. A )
34	26, 33	syl 14	. 2 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A x = U. A )
35	17, 34	impbii 126	1 |- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   U.cuni 3864   U_ciun 3941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-uni 3865  df-iun 3943

This theorem is referenced by: (None)