Theorem ifeq1dadc 3562

Description: Conditional equality. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifeq1dadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A = B )
ifeq1dadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifeq1dadc	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )

Proof of Theorem ifeq1dadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifeq1dadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A = B )
2	1	ifeq1d 3549	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )
3		iffalse 3540	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , C ) = C )
4		iffalse 3540	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , B , C ) = C )
5	3, 4	eqtr4d 2211	. . 3 |- ( -. ps -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )
6	5	adantl 277	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )
7		ifeq1dadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
8		exmiddc 836	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
10	2, 6, 9	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ifcif 3532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-rab 2462  df-v 2737  df-un 3131  df-if 3533

This theorem is referenced by:  sumeq2  11333  isumss  11365  prodeq2  11531  lgsval2lem  13980  lgsval4lem  13981  lgsneg  13994  lgsmod  13996  lgsdilem2  14006