Theorem ifeq1dadc 3550

Description: Conditional equality. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifeq1dadc.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> A = B )
ifeq1dadc.dc	|- ( ph -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
ifeq1dadc	|- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )

Proof of Theorem ifeq1dadc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifeq1dadc.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> A = B )
2	1	ifeq1d 3537	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )
3		iffalse 3528	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , A , C ) = C )
4		iffalse 3528	. . . 4 |- ( -. ps -> if ( ps , B , C ) = C )
5	3, 4	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( -. ps -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )
6	5	adantl 275	. 2 |- ( ( ph /\ -. ps ) -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )
7		ifeq1dadc.dc	. . 3 |- ( ph -> DECID ps )
8		exmiddc 826	. . 3 |- (DECID ps -> ( ps \/ -. ps ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ps \/ -. ps ) )
10	2, 6, 9	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> if ( ps , A , C ) = if ( ps , B , C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ifcif 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-if 3521

This theorem is referenced by:  sumeq2  11300  isumss  11332  prodeq2  11498  lgsval2lem  13551  lgsval4lem  13552  lgsneg  13565  lgsmod  13567  lgsdilem2  13577